在中国现行的刑法诉讼规制下，如果37天内没有下逮捕令，公安机关有义务对犯罪嫌疑人进行相应处理。以下是对这一问题的详细解答：
一、37天没有下逮捕令的处理方式
释放犯罪嫌疑人：
- 若在37天的期限内未能获得逮捕令，公安机关通常会释放已经关押的犯罪嫌疑人。这意味着，如果没有足够的证据支持继续关押，犯罪嫌疑人将获得自由。
变更强制措施：
- 公安机关也可能会选择变更强制措施，如取保候审或监视居住。
- 取保候审：犯罪嫌疑人可以通过提交担保人或者缴纳保证金的方式，确保在接到传唤后能够随时露面配合调查。
- 监视居住：对犯罪嫌疑人的日常活动范围以及行为方式进行适当的限制，但允许其在特定条件下回家。
二、后续可能的法律程序
侦缉工作继续：
- 未被逮捕并不意味着刑事案件终结。公安机关可能会继续侦缉工作，收集新的证据。
- 如果未来获取到新的重要证据，仍有可能对嫌疑人采取更加严厉的强制措施。
案件可能撤销：
- 在侦查过程中，如果发现不构成犯罪或证据不足，公安机关会撤销案件，嫌疑人将被立即释放。
补充侦查：
- 如果证据存在瑕疵，公安机关可能会进行一个月的补充侦查，之后再决定是否逮捕。
审查起诉与审判：
- 如果案件证据充分，公安机关会将案件移交给人民检察院进行审查起诉。
- 检察院会仔细审查案件，并决定是否提起公诉。
- 如果检察院决定起诉，案件将进入审判阶段，由法院进行审理并作出判决。
三、相关注意事项
取保候审的可能性：
- 即使在批捕后，如果存在特定条件（如案件证据发生重大改变、采取取保候审不会导致社会危险性等），犯罪嫌疑人及其法定代理人、近亲属或辩护人仍可以向办案机关提出取保候审的申请。
37天不放人不等于必然判刑：
- 37天未被释放并不一定意味着会被判刑。案件的最终走向取决于证据的合法性、关联性以及充分性等多方面因素。
综上所述，如果37天内没有下逮捕令，公安机关将根据案件的具体情况和法律规定对犯罪嫌疑人进行相应的处理。这可能包括释放犯罪嫌疑人、变更强制措施或继续侦缉工作等。在整个刑事诉讼流程中，嫌疑人及其家属应密切关注案件的进展，并咨询专业律师以获取法律帮助和保障自身权益。