当您在抖音购买的商品商家不肯退款时，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 与商家协商：

   • 首先尝试与商家进行友好协商，清晰阐述退款原因，并提供如商品照片、聊天记录等确凿证据。
   • 引用《产品质量法》或《消费者权益保护法》中关于商品质量及退换货的相关规定，增强说服力。

2. 依据抖音退款政策：

   • 仔细阅读抖音平台的退款政策，确保你的退款请求符合平台规定。
   • 通过抖音APP的“我的订单”页面发起退款申请，并按照平台流程操作。

3. 申请平台介入：

   • 在与商家协商无果后，可申请抖音平台介入处理。
   • 上传相关证据，等待平台审核并给出处理结果。

4. 向消费者协会投诉：

   • 如平台介入未能解决问题，可向当地消费者协会投诉。
   • 提供详细情况说明和相关证据，寻求消费者协会的调解和帮助。

5. 拨打12315热线：

   • 拨打12315消费者维权热线，进行投诉举报。
   • 按照工作人员指引，提供相关信息和证据，等待处理结果。

6. 寻求法律途径：

   • 当其他方式均无法解决问题，且涉及金额较大时，可考虑向人民法院提起诉讼。
   • 准备好相关证据，如起诉状、购物凭证、聊天记录等，向人民法院提起诉讼，要求商家履行退款义务并承担法律责任。

在整个维权过程中，请务必保留好相关证据，以便在需要时能够提供有力的支持。同时，了解并依据相关法律法规和政策规定，将为您的维权之路提供坚实的法律保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。