当私人保险公司倒闭时，客户的权益保障是一个核心关注点。通常，有以下两种主要方式来确保客户的权益得到妥善处理：

首先，其他保险公司会接手相关业务。一旦某家私人保险公司倒闭，监管部门会积极协调，安排其他具有相应资质的保险公司来接手其保险业务。这样做的目的是确保客户手中的保险合同能够继续生效，不会因为原公司的倒闭而失效。例如，如果您持有的是人寿保险合同，接手的保险公司会承担起原本应由倒闭公司履行的保险责任，确保您在后续依然能享受到应有的保障。

其次，保险保障基金会发挥作用。保险保障基金是保险市场稳定的重要保障力量。当保险公司经营不善出现问题时，保险保障基金会介入。如果保险公司被依法撤销或者宣告破产，其持有的人寿保险合同以及责任准备金会转让给其他有经营人寿保险业务资质的公司。如果没有合适的受让公司，保险保障基金就会按照规定，直接向保单持有人提供救助，以确保客户的权益得到最大程度的保障。

综上所述，即便保险公司倒闭，通过以上两种方式，客户的权益一般能得到一定保障。这有助于维护保险市场的稳定，保护投保人的利益。如果您对具体的情况还有疑问或需要进一步的帮助，建议咨询专业的保险监管机构或法律顾问，以获取更详细和个性化的解答。