醉酒打人可能构成寻衅滋事罪，也可能构成故意伤害罪，具体需结合行为人的主观动机、行为方式及造成的后果综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、构成寻衅滋事罪的情形
行为表现：
- 醉酒后打人若表现为无事生非、借故生非或小题大做，如因轻微摩擦即对他人实施殴打，且行为具有随意性，特别是在公共场所无端对陌生路人进行拳打脚踢，则符合“随意殴打他人”的构成要件，可能构成寻衅滋事罪。
情节恶劣程度：
- 若醉酒打人行为导致一人以上轻伤或二人以上轻微伤，或者引起他人精神失常、自杀等严重后果，或者多次随意殴打他人，或者持凶器随意殴打他人，或者在公共场所随意殴打他人造成公共场所秩序严重混乱的，均可能被认定为“情节恶劣”，从而构成寻衅滋事罪。
主观故意：
- 需证明行为人具有逞强耍横、寻求刺激、发泄情绪、无事生非等不正当目的。若醉酒后打人出于此类动机，且扰乱了公共秩序，则可能构成寻衅滋事罪。
二、构成故意伤害罪的情形
伤害后果：
- 如果醉酒打人导致他人重伤，则可能构成故意伤害罪。故意伤害罪的成立，主要依据伤害后果的严重程度，而非行为人的主观动机或行为方式。
主观故意：
- 故意伤害罪要求行为人具有伤害他人的故意，即明知自己的行为会造成他人身体伤害，而希望或放任这种结果的发生。若醉酒后打人出于报复、泄愤等目的，且造成了他人重伤，则可能构成故意伤害罪。
三、不构成犯罪但需承担行政责任的情形
情节显著轻微：
- 如果醉酒打人行为情节显著轻微，危害不大，如只是轻轻推搡了一下他人，没有造成任何身体伤害，或者虽然造成轻微伤但情节较轻，根据《刑法》的相关规定，不认为是犯罪。但行为人可能面临行政处罚，如拘留、罚款等。
民间纠纷引发的冲突：
- 若醉酒打人只是一般的因民间纠纷引发的冲突，没有达到情节恶劣程度，比如只是偶尔一次酒后因言语冲突动手打人，造成他人轻微伤以下伤害，通常按照《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处理。
四、民事赔偿责任
无论醉酒打人行为是否构成犯罪或仅受治安管理处罚，打人者均需承担民事赔偿责任，赔偿受害者因受伤所遭受的医疗费、误工费等损失。
五、实际案例说明
- 案例一：行为人醉酒后在夜市无故挑衅路人并引发打斗，导致对方轻伤且现场秩序混乱。此类行为既满足“随意殴打他人”的客观要件，又体现“破坏社会秩序”的主观故意，符合寻衅滋事罪的认定标准。
- 案例二：行为人醉酒后因与他人发生口角，持刀将对方砍成重伤。此类行为具有明确的伤害故意，且造成了严重后果，构成故意伤害罪。
建议：醉酒后应控制好自己的情绪和行为，避免因一时冲动而触犯法律。如遇醉酒打人事件，受害者应及时报警并寻求法律援助，以维护自身合法权益。同时，打人者也应积极承担责任，接受法律制裁，并赔偿受害者的损失。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。