针对您提出的“不签劳动合同开除员工怎么赔偿”的问题，这确实是一个涉及劳动法的重要议题。以下是我为您详细梳理的解答：
一、未签订劳动合同的赔偿
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系时，用人单位应当与劳动者订立书面劳动合同。若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者签订书面劳动合同，那么用人单位需要向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿，这个赔偿期限最长可以达到11个月。
举例来说：如果您于2024年1月1日入职某公司，但公司一直未与您签订书面劳动合同，直至2024年11月1日将您开除。那么，从2024年2月1日至2024年10月31日这9个月期间，公司除正常发放工资外，还需额外向您支付这9个月的双倍工资差额（假设您每月工资为5000元，则额外支付45000元）。
二、违法解除劳动关系的赔偿
如果用人单位无正当理由开除您，即构成违法解除劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位需要按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。经济补偿的计算方式是：您在本单位每工作满一年，支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的月工资是指您劳动合同解除前十二个月的平均工资。
举例来说：如果您在公司工作了3年零3个月，且前十二个月平均工资为6000元，那么公司应支付的经济补偿金为3.5个月的工资，即21000元。由于公司是违法解除劳动关系，所以还需要支付双倍的赔偿金，即42000元。
特殊情况：如果您因严重违反公司规章制度、给公司造成重大损害等过错行为被解除劳动合同，那么公司无需支付经济补偿金或赔偿金。
三、维权途径与建议
面对公司不签劳动合同且开除的情况，您可以采取以下措施来维护自己的权益：
与公司协商：首先尝试与公司进行沟通，要求其依法支付相应的赔偿。
向劳动监察部门投诉：劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行监督检查，并责令其改正。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。
提起诉讼：如果您对仲裁结果不满意，还可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。
在处理此类问题时，我建议您咨询专业律师以获取更具体的法律意见和支持，确保您的权益得到充分保障。同时，您也需要收集相关证据来证明与用人单位存在劳动关系以及您的工作时间、工资水平等关键信息，这些证据将对您主张赔偿起到至关重要的作用。