结论前置：信用卡逾期1万多元存在被银行起诉的可能性，但并非绝对，具体取决于逾期时间、银行政策、持卡人还款态度及能力等多种因素。
一、银行起诉的权利与考量因素
银行有起诉的权利：
- 从法律层面讲，只要持卡人未按时偿还信用卡欠款，银行就有权通过法律途径追讨，无论逾期金额大小。这意味着，即使逾期金额仅为1万多元，银行在多次催收无果后，仍有可能选择向法院提起诉讼。
银行实际起诉的考量因素：
- 逾期时间：逾期时间是银行考虑是否起诉的重要因素。通常，逾期时间较短时，银行主要通过电话、短信等方式催收；若逾期时间较长，如超过3个月，且经多次有效催收仍未还款，银行起诉的可能性会增大。
- 银行政策：不同银行对于信用卡逾期的处理政策和流程存在差异。一些银行可能在逾期较短时间后就开始采取法律手段，而另一些银行可能会给予更长的宽限期。
- 还款态度：持卡人的还款态度对银行的决策有直接影响。积极与银行沟通、表明还款意愿并尝试制定还款计划的持卡人，可能会获得银行的宽限期或避免被起诉。相反，逃避催收、拒绝沟通的持卡人则更可能被银行视为恶意欠款，从而面临法律诉讼的风险。
- 资产状况：若持卡人具备还款能力却拒不还款，银行为保障债权可能会选择起诉；若确实经济困难，银行可能会考虑协商个性化分期还款方案。
二、法律后果
民事责任：
- 一旦被银行起诉且败诉，持卡人除需偿还本金、利息外，还可能面临高额的违约金、滞纳金、诉讼费等额外支出。
征信影响：
- 信用卡逾期后，银行会将持卡人的逾期记录上报征信机构，形成不良信用记录。这将对持卡人的个人信用造成严重影响，导致其在未来申请贷款、信用卡等金融产品时受到限制或拒绝。
刑事责任（在特定情况下）：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，如果持卡人恶意透支信用卡，数额较大（通常指五万元以上），并且经发卡银行两次催收后超过三个月仍不归还的，可能构成信用卡诈骗罪。虽然1万多元的逾期金额通常不构成刑事犯罪，但持卡人仍应避免恶意透支行为，以免触犯法律。
三、建议
避免逾期：
- 持卡人应尽量避免信用卡逾期，确保按时还款。可以通过设置自动还款、提醒功能等方式来降低逾期风险。
及时沟通：
- 如确实无法按时还款，应及时与银行沟通并协商还款计划。表明还款意愿并尝试制定可行的还款方案，有助于减少被起诉的风险。
尽快还款：
- 如果已经逾期，应尽快还清欠款或至少按时偿还最低还款额。这有助于减少利息和违约金的累积，并降低法律风险。
寻求法律帮助：
- 若面临银行起诉等法律问题，建议及时向我咨询。我可以根据具体情况提供专业的法律建议和帮助，以维护持卡人的合法权益。
综上所述，信用卡逾期1万多元是否会被起诉取决于多种因素的综合考量。持卡人应保持良好的还款习惯，积极与银行沟通协商，以避免不必要的法律纠纷和严重后果。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。