结论：私人视频聊天在一般情况下不会被监控，但在特定情况下，如涉及违法犯罪活动或国家安全等，相关部门可能会依法进行监控。
分析说明：
一般情况下的隐私保护：
- 在日常生活中，私人视频聊天属于个人隐私范畴，受到法律的保护。根据《中华人民共和国民法典》中关于人格权的规定，自然人享有隐私权，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。因此，在正常情况下，未经法定程序，任何组织或个人都不得对私人视频聊天进行监控。
特定情况下的监控可能性：
- 涉及违法犯罪活动：如果私人视频聊天内容涉及违法犯罪活动，如贩毒、走私、恐怖活动等，相关部门在依法获得授权后，可能会对视频聊天进行监控，以收集证据或预防犯罪。
- 国家安全需要：在涉及国家安全的情况下，如间谍活动、危害国家安全等，国家安全机关或相关部门也可能依法对视频聊天进行监控，以维护国家安全。
- 法律程序要求：在特定法律程序中，如刑事诉讼中的侦查阶段，公安机关或检察机关在依法获得搜查令或监控令后，也可能对私人视频聊天进行监控。
监控的合法性与程序性：
- 即使是在上述特定情况下，相关部门对私人视频聊天的监控也必须严格遵守法律程序，包括获得法定授权、遵循法定程序、保护个人隐私等。任何非法监控行为都可能构成对个人隐私权的侵害，并承担相应的法律责任。
法律建议：
- 保护个人隐私：在日常生活中，应增强隐私保护意识，避免在视频聊天中泄露过多个人信息或敏感内容。
- 合法合规使用：在使用视频聊天工具时，应遵守相关法律法规和平台规定，不进行违法犯罪活动或传播违法信息。
- 维权途径：如果发现个人视频聊天被非法监控或泄露，应及时向相关部门报案或寻求法律帮助，维护自己的合法权益。
后续行动与思考：
- 如果您担心自己的视频聊天被监控，可以定期检查设备安全设置，确保没有恶意软件或病毒入侵。
- 在与他人进行视频聊天时，可以选择使用加密通信工具或设置隐私保护模式，以增加通信的安全性。
- 如果您对监控行为有疑问或担忧，可以直接向我咨询相关法律问题，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。