结论前置：住院并非工伤认定的必要条件，即使住院时未提及工伤受伤，出院后依然可以申请工伤认定，关键在于所受伤害是否与工作有关且符合《工伤保险条例》规定的工伤情形。
详细分析
一、工伤认定的核心要素
根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤认定的核心在于判断职工所受伤害是否符合以下条件：
- 工作时间和工作场所：伤害必须发生在劳动合同规定的工作时间或单位要求的加班时间内，且在工作场所内（包括职工日常工作所在场所及因工作需要前往的其他相关场所）。
- 工作原因：伤害是由于从事与工作相关的事务导致的，涵盖执行工作任务、为工作的准备或收尾等关联活动过程中受伤。
- 具体法定情形：如因工作原因受到事故伤害、患职业病、因工外出期间受到伤害等。
二、住院与工伤认定的关系
住院并非工伤认定的必要条件。工伤认定的关键在于伤害是否与工作直接相关，并是否符合上述法定的工伤情形。即使受伤后未住院治疗，只要伤害情形符合《工伤保险条例》的规定，劳动者依然有权向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
三、申请工伤认定的材料与流程
申请材料：
- 工伤认定申请表：需如实填写事故发生的时间、地点、原因以及职工伤害程度等基本情况。
- 与用人单位存在劳动关系的证明材料：如劳动合同、工资发放记录、工作证、考勤记录等。
- 医疗诊断证明：由医疗机构出具的受伤后诊断证明书或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书），这是证明受伤情况的关键证据。即使未住院，只要有医院对受伤情况进行诊断并出具相关证明即可。
申请流程：
- 职工发生事故伤害或被诊断为职业病后，所在单位应在30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 如果单位未按规定时间提出申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可以在事故发生之日起一年内直接向社会保险行政部门提出申请。
- 社会保险行政部门将对申请材料进行调查核实，确认符合工伤认定条件的，将认定为工伤。
四、特殊情况下的工伤认定
如果住院时未提及工伤受伤，但出院后发现伤害与工作有关，依然可以申请工伤认定。此时，需要特别注意以下几点：
- 及时收集证据：包括医疗诊断证明、工作记录、同事证言等，以证明伤害与工作有关。
- 尽快提出申请：工伤认定申请应在事故发生之日起一年内提出，以确保受理时效未经过。
- 配合调查核实：社会保险行政部门在调查核实过程中，可能需要申请人提供进一步的证据或说明情况，申请人应积极配合。
后续建议
- 保留相关证据：包括医疗记录、工作记录、同事证言等，以备不时之需。
- 及时咨询与申请：如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的指导和支持。同时，应尽快按照法定程序向有关部门提出工伤认定申请。
综上所述，住院并非工伤认定的必要条件。只要所受伤害与工作有关且符合《工伤保险条例》规定的工伤情形，即使住院时未提及工伤受伤，出院后依然可以申请工伤认定并享受相应的工伤保险待遇。