结论：小区遛狗不牵绳，物业有一定责任，但主要责任在于公安机关（或政府指定的其他部门），同时业主委员会、居委会及普通居民也承担相应责任。以下从不同角度详细分析：
一、物业的责任
辅助管理责任：
- 物业在小区内负有管理职责，包括维护小区秩序和安全。对于遛狗不牵绳等违规行为，物业有义务通过监控、巡逻等方式及时发现，并进行劝阻。
- 物业还可以在小区内设置文明养犬提示牌，提醒业主遵守相关规定。
上报责任：
- 若物业劝阻无效，应及时将违规情况上报给公安机关或相关管理部门，以便进行进一步处理。
二、公安机关（或政府指定部门）的责任
主要管理责任：
- 根据《中华人民共和国动物防疫法》第三十条，携带犬只出户的，应当按照规定佩戴犬牌并采取系犬绳等措施。公安机关（或政府指定的其他部门）是养犬管理的主管部门，负责对违规遛狗行为进行处罚。
- 处罚措施可能包括警告、罚款等，具体依据地方性养犬管理条例执行。例如，北京规定可处50元以上200元以下罚款。
执法责任：
- 公安机关（或政府指定的其他部门）还负责捕捉无主犬、流浪犬，并依法进行处理，以防止犬只伤人或疫病传播。
三、其他相关方的责任
业主委员会的责任：
- 业主委员会可以制定小区内部养犬公约，明确奖惩措施，引导业主文明养犬。
居委会的责任：
- 居委会负责组织宣传教育活动，提高业主对文明养犬的认识。同时，居委会还可以调解因养犬引发的邻里纠纷，维护小区和谐。
普通居民的责任：
- 普通居民有权向物业、居委会或直接拨打12345/110举报违规遛狗行为。通过举报，可以促使相关部门及时介入处理，维护小区秩序和安全。
四、实际案例与法律依据
- 实际案例：上海某小区居民多次投诉邻居遛狗不栓绳，物业劝阻无效后报警。警方依据《上海市养犬管理条例》对犬主罚款200元。这一案例说明了公安机关在处理违规遛狗行为中的重要作用。
- 法律依据：《中华人民共和国动物防疫法》第三十条明确规定：“携带犬只出户的，应当按照规定佩戴犬牌并采取系犬绳等措施”。这一条款为处理违规遛狗行为提供了明确的法律依据。
五、建议与措施
- 加强宣传教育：通过小区公告、宣传栏、微信群等多种渠道，加强文明养犬的宣传教育，提高业主的认识和自觉性。
- 完善管理制度：物业和业主委员会应共同制定和完善小区养犬管理制度，明确各方责任和义务，确保制度得到有效执行。
- 加强监管执法：公安机关（或政府指定的其他部门）应加强对小区内违规遛狗行为的监管和执法力度，确保法律法规得到有效实施。
总结：小区遛狗不牵绳是一个涉及多方责任的问题。物业虽然有一定责任，但主要责任在于公安机关（或政府指定的其他部门）。同时，业主委员会、居委会及普通居民也应承担相应责任。通过加强宣传教育、完善管理制度和加强监管执法等措施，可以有效解决这一问题，维护小区秩序和安全。如果您在小区内遇到遛狗不牵绳等违规行为，可以向物业反映或直接报警处理。如有其他法律问题，也可以直接向我咨询。