结论：公司员工患癌症后，公司在医疗期内一般不得随意开除员工。若医疗期满后员工无法从事原工作或另行安排的工作，且符合法定条件，公司可依法解除劳动合同并支付相应补偿。若公司违法开除，则需承担法律责任。
详细分析：
医疗期内的保护：
- 法律规定：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，公司不能以员工不胜任工作、客观情况发生重大变化等理由开除员工，也不能在经济性裁员时将其列入裁员名单。
- 医疗期定义与时长：医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。其时长根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般为3个月到24个月不等。对于特殊癌症情况，经劳动能力鉴定委员会确认，医疗期可适当延长。
- 法律后果：若公司在医疗期内无正当理由开除员工，属于违法解除劳动合同，需按照《劳动合同法》第八十七条的规定，向劳动者支付赔偿金，赔偿标准为经济补偿标准的二倍。
医疗期届满后的处理：
- 可以解除劳动合同的情形：若员工在医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作的，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。在此情况下解除劳动合同，公司需按法律规定支付经济补偿金，以及不低于六个月工资的医疗补助费。对于患重病和绝症的员工，医疗补助费还需相应增加。
- 不得解除劳动合同的情形：若员工在医疗期满后，虽不能从事原工作，但能从事公司另行安排的工作，或经劳动能力鉴定委员会鉴定为一至四级伤残（完全丧失劳动能力），则公司不得解除劳动合同，应保留劳动关系并退出工作岗位。
特殊情况下的协商解除：
- 在极少数特殊情况下，如员工癌症病情严重到无法继续履行工作职责，且经过医疗期治疗后仍无法改善，公司可能在遵循法律程序并支付相应经济补偿金的前提下，与员工协商解除劳动合同。但此举需谨慎操作，并确保符合所有法定条件，以避免法律风险。
员工权益保障与建议：
- 员工应了解自己的权益和义务，特别是在患病期间，应确保自己的合法权益不受侵害。若公司违法开除，员工有权向劳动仲裁机构或法院申请仲裁或提起诉讼，以维护自己的合法权益。
- 公司应遵循法律法规，尊重员工权益，给予必要的关怀和支持。在员工患病期间，应积极提供医疗期保护，并在医疗期届满后依法处理劳动合同关系。
举例说明：
假设某员工在公司工作5年，因患癌症需要治疗，医疗期为6个月。在医疗期内，公司不得随意开除该员工。若医疗期满后，该员工仍无法从事原工作，但公司为其安排了其他适合的工作岗位，且该员工能够胜任，则公司不得解除劳动合同。若该员工既不能从事原工作，也不能从事公司另行安排的工作，则公司可以依法解除劳动合同，并支付相应的经济补偿金和医疗补助费。
总结与建议：
公司在处理患癌症员工的劳动合同关系时，应严格遵守相关法律法规，确保双方权益得到妥善保障。若员工或公司对此有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。