结论前置：公司在特定情形下辞退员工无需支付赔偿金，但必须确保辞退决定的合法性和合理性，并严格遵守相关法律法规和程序规定。以下是具体情形及法律解析：
一、过失性辞退情形
试用期间不符合录用条件
- 法律解析：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项，若员工在试用期间被证明不符合录用条件，公司可依法解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 操作要点：公司需在招聘时明确录用条件，并在试用期内对员工进行客观、公正的考核，保留相关证据。若员工经考核不符合录用条件，公司应及时解除劳动合同。
严重违反用人单位规章制度
- 法律解析：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项，若员工严重违反公司规章制度，公司有权解除劳动合同且不支付赔偿金。
- 操作要点：公司规章制度需合法、合理且经过民主程序制定并公示。公司需能够证明员工存在严重违反规章制度的行为，如多次旷工、严重失职等，并提供相应证据。
严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害
- 法律解析：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项，若员工严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害，公司可解除劳动合同且不承担经济赔偿责任。
- 操作要点：公司应在规章制度中明确“重大损害”的标准，如经济损失的具体金额。公司需提供证据证明员工的严重失职、营私舞弊行为，以及该行为与重大损害之间的因果关系。
与其他用人单位建立劳动关系，影响本职工作
- 法律解析：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项，若员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对本单位的工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正，公司可解除劳动合同并不予赔偿。
- 操作要点：公司需证明员工的兼职行为对本单位工作任务造成了严重影响，或在提出反对意见后员工仍未改正。
劳动合同无效
- 法律解析：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第五项及第二十六条第一款第一项，若员工以欺诈、胁迫等手段使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，该劳动合同无效。公司发现后可解除劳动合同且无需赔偿。
- 操作要点：公司需提供证据证明员工的欺诈、胁迫行为，以及该行为与劳动合同订立或变更之间的因果关系。
被依法追究刑事责任
- 法律解析：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项，若员工被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑），或被免予刑事处罚，公司可解除劳动合同且无需支付任何经济补偿。
- 操作要点：公司需持有人民法院的生效判决或裁定等法律文书作为证据。
二、经济性裁员中的特殊情况
- 法律解析：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，在经济性裁员中，若裁减人员方案已向劳动行政部门报告，且被裁减人员在六个月内不符合优先招用条件而再次被排除录用，公司无需支付赔偿金。经济性裁员的情形包括但不限于企业破产法规定的重整、生产经营发生严重困难、企业转产或经营方式调整导致的裁员等。
- 操作要点：公司需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，方可进行裁员。
三、注意事项与法律建议
- 证据保留：公司在辞退员工时，必须确保有充分的证据支持其决定，如考核记录、规章制度、警告信、法律文书等。
- 程序合规：公司需严格遵循相关法律程序，如提前通知、听取意见、报告劳动行政部门等，以确保辞退决定的合法性。
- 风险防范：若程序不当或证据不足，即使员工存在上述情形之一，公司也可能面临法律风险，如支付赔偿金、恢复劳动关系等。
- 法律咨询：在处理员工辞退事宜时，公司可向我咨询，以确保合规性并降低法律风险。
总结：公司在特定情形下可以辞退员工而无需支付经济补偿，但必须确保有充分的证据和法律依据，并严格遵循相关程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。