面对政府工程拖欠农民工工资的问题，你们应保持冷静和理智，通过合法途径来维护自身权益。以下是从多个角度给出的详细分析和建议：

一、确认拖欠工资的具体情况

1. 明确欠薪细节：首先，要弄清楚欠薪的具体金额、时间以及拖欠的原因。这有助于后续维权时提供准确的证据和信息。
2. 收集证据材料：务必收集好与欠薪相关的所有证据材料，如工作合同、工时记录、工资条、银行转账记录等。这些证据对于证明欠薪事实至关重要。

二、尝试与政府部门协商

1. 直接沟通：可以选派代表与负责项目建设或劳务雇佣的政府部门进行面对面沟通，详细说明工资拖欠情况，并要求给出明确的支付时间节点。
2. 向上级反映：若直接沟通无果，可向该部门的上级主管部门反映情况，利用上级的监督和管理职责推动问题解决。

三、向相关部门投诉

1. 劳动保障监察部门：向当地的劳动保障监察机构提交投诉，并附上相关证据材料。劳动保障监察机构有权对用人单位进行调查，并责令其限期支付拖欠工资。
2. 建设行政主管部门：鉴于工程建设领域的特殊性，还可向当地建设局、住建局等反映问题。这些部门将对工程项目进行监管，促使相关方解决工资拖欠问题。

四、申请劳动仲裁或提起诉讼

1. 劳动仲裁：若协商、投诉均无果，可在权利被侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。提交仲裁申请书及相关证据，等待仲裁裁决。对裁决不服者，可进一步向人民法院提起诉讼。
2. 民事诉讼：对于属于劳务关系的农民工，可直接向人民法院提起民事诉讼，要求支付劳务报酬。判决生效后，对方仍不履行的，可申请强制执行。
3. 特殊情况处理：如认为政府部门存在行政不作为或违法行政行为，可提起行政诉讼，要求履行法定职责或赔偿损失。

五、借助社会力量增强维权效果

1. 工会组织：加入并利用工会组织的资源，获取法律咨询、法律援助等服务。工会将代表农民工与用人单位协商，有力维护农民工权益。
2. 媒体曝光：在合法合规的前提下，通过媒体曝光拖欠工资行为，引发社会关注，给用人单位施加舆论压力，促使其尽快解决问题。但需注意信息的真实性与准确性，避免侵犯他人权益。

六、预防措施与建议

1. 签订正规劳动合同：在与政府部门建立劳动关系时，务必签订正规的劳动合同，并明确工资待遇、支付方式等重要条款。这是维权的基础和前提。
2. 提高法律意识：了解相关法律法规和维权途径，以便在必要时能够有效维护自身权益。可以通过参加法律培训、咨询法律专业人士等方式提高法律意识。

最后，我想强调的是，维权过程中要保持冷静和理智，避免采取过激行为。同时，要相信法律的力量，通过合法途径来维护自身权益。如果你们在维权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会尽我所能为你们提供专业的法律支持和建议。