结论：母亲因卖淫被拘留是否影响子女的政审，主要取决于拘留的性质（行政拘留还是刑事拘留）、子女报考的岗位性质以及政审的严格程度。以下从不同角度详细分析：
一、拘留性质的影响
行政拘留：
- 行政拘留是公安机关对违反行政管理秩序的公民采取的一种限制人身自由的惩罚措施，不属于刑事处罚。
- 在大多数情况下，母亲因卖淫被行政拘留，不会对子女的政审产生决定性影响，特别是当子女报考的是普通公务员岗位或一般单位时。
刑事拘留：
- 刑事拘留是公安机关在刑事诉讼过程中，对现行犯或重大嫌疑分子采取的临时性强制措施。
- 如果母亲因卖淫被刑事拘留，且后续被法院判定有罪并受到刑事处罚（如有期徒刑、拘役等），那么这将对子女的政审产生明显的不利影响，特别是在报考公务员、参军入伍、报考警校等对政审要求严格的情形下。
二、子女报考岗位性质的影响
普通公务员岗位或一般单位：
- 这些岗位的政审相对宽松，主要关注报考者本人的政治素质、道德品行、遵纪守法等情况。
- 母亲因卖淫被拘留（无论是行政拘留还是刑事拘留，但未最终定罪判刑），通常不会对子女的政审造成重大影响。
特殊岗位公务员：
- 对于公安、国安、机要等特殊岗位的公务员政审，情况则有所不同。这些岗位的政审要求更为严格，不仅会对报考者本人进行深入的审查，还会对其家庭成员的情况进行详尽的了解。
- 如果母亲因卖淫被刑事拘留且最终定罪判刑，或者即使只是行政拘留但情节严重、社会影响恶劣，可能会被视为家庭存在不良社会影响，从而在一定程度上影响子女在这些特殊岗位的政审结果。
三、政审严格程度的影响
- 政审的严格程度因地区、单位、岗位而异。有些地区或单位可能更加注重报考者本人的表现和能力，而对家庭成员的犯罪记录相对宽容；而有些地区或单位则可能对家庭成员的犯罪记录采取更为严格的审查态度。
- 因此，即使母亲因卖淫被拘留，也不一定会直接导致子女政审不通过。政审机构会综合考虑多种因素，如子女的个人表现、学历、能力、道德品质以及报考岗位的具体要求等。
四、法律建议
了解政审要求：
- 在报考前，子女应详细了解报考单位或岗位的政审要求，包括是否对家庭成员的犯罪记录有明确规定。
准备证明材料：
- 如果母亲因卖淫被拘留但未最终定罪判刑，子女可以准备相关证明材料（如无罪释放证明、撤案决定书等），以证明母亲的违法行为并未导致刑事处罚，从而降低对子女政审的影响。
保持良好表现：
- 子女应通过自己的努力和优秀表现来提升自己的竞争力，争取在政审中脱颖而出。这包括遵守法律法规、保持良好的道德品质、积极参与社会活动等。
咨询专业意见：
- 如果子女对政审结果存在疑虑或担忧，可以向我咨询专业意见。我可以根据具体情况提供针对性的法律建议和指导。
总结：母亲因卖淫被拘留是否影响子女的政审，是一个复杂的问题，需要综合考虑拘留性质、子女报考岗位性质以及政审严格程度等多种因素。子女应提前了解政审要求，准备相关证明材料，并保持良好的个人表现。如有需要，可以向我咨询专业意见。