若连带清偿责任人不履行其责任，可能会面临以下法律后果：
被债权人追偿：
- 连带清偿责任意味着责任人需与其他责任人共同对债权人的债务承担清偿责任。若某一责任人未履行其份额，债权人有权直接向该责任人追偿全部或部分债务。
- 例如，在一份共同借款合同中，若A和B作为共同借款人承担连带清偿责任，而A未履行还款义务，债权人可以直接要求B偿还全部借款，B在偿还后有权向A追偿其应承担的部分。
面临法律诉讼：
- 若连带清偿责任人拒绝履行其责任，债权人可能会选择通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，责任人需承担举证责任，证明自己已履行或不应履行清偿责任。若无法提供充分证据，法院可能会判决责任人承担清偿责任，并可能附加罚息、违约金等额外费用。
信用受损：
- 连带清偿责任人不履行其责任，其信用记录可能会受到损害。这会影响责任人未来的借贷、融资等金融活动，甚至可能影响其就业和社交关系。
- 在现代社会，信用记录的重要性日益凸显。一个不良的信用记录可能会让责任人在多个方面受到限制和歧视。
可能面临强制执行：
- 若法院判决连带清偿责任人承担清偿责任，而责任人仍拒绝履行，债权人可以申请法院强制执行。
- 强制执行措施可能包括查封、扣押、拍卖责任人的财产等，以强制其履行清偿责任。这会给责任人带来极大的经济压力和生活困扰。
法律建议：
- 积极履行清偿责任：作为连带清偿责任人，应积极履行自己的清偿责任，避免给债权人和其他责任人带来不必要的麻烦和损失。
- 与债权人协商：若确实无法履行清偿责任，应主动与债权人协商，寻求解决方案，如延期还款、分期还款等。
- 寻求法律援助：若面临法律诉讼或强制执行等复杂情况，建议及时寻求专业律师的法律援助，以维护自己的合法权益。
特殊情况说明：
- 若连带清偿责任人因不可抗力等原因确实无法履行清偿责任，应及时向债权人说明情况，并提供相关证据。在这种情况下，债权人可能会考虑给予一定的宽限期或减免部分债务。
- 若连带清偿责任人之间存在争议或纠纷，如责任份额划分不清等，建议通过协商、调解或诉讼等方式解决争议，以明确各自的责任和义务。
总之，连带清偿责任人不履行其责任可能会面临严重的法律后果。因此，建议责任人积极履行自己的义务，并在遇到问题时及时寻求法律援助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。