私自安装拖车钩是否违法，需根据具体情况及法律法规进行综合判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 合法性条件：

   • 对于普通乘用车，若安装拖车钩不影响车辆安全性能，且符合相关规定（如车辆出厂时有预留安装位置或接口），并用于合法拖车作业（如拖挂小型旅居挂车或轻型挂车），则并不违法。但需注意，车辆出厂时若无预留安装位置或接口，自行改装非原厂适配的拖车钩，可能违反《道路交通安全法》第十六条，即不得擅自改变机动车已登记的结构、构造或特征。
   • 加装的拖车钩不能超出原车的外观和结构，否则视为非法改装，构成违法行为。此外，若拖车钩突出车身过多，影响外观完整性或对他人存在潜在危险，也是不被允许的。
   • 车辆拖挂时，拖车钩必须经过技术检验并符合相关标准。对于载货汽车，安装的拖车钩需符合车辆设计标准，连接挂车时需遵循安全技术规范。

2. 非法改装的后果：

   • 私自加装拖车钩且违反规定者，公安机关交通管理部门有权责令恢复原状，并处以警告或500元以下罚款。
   • 在严重情况下，公安交管部门可能会依法扣留车辆，收缴非法装置，并责令恢复原状。
   • 私自加装拖车钩后发生事故，保险公司可能会拒绝赔偿。

3. 使用规定与注意事项：

   • 使用拖车钩牵引故障机动车时，需遵守《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》的相关规定，如被牵引车不得载人、宽度不得大于牵引车等。
   • 安装拖车钩前，建议事先咨询当地车管所了解具体规定，并选择符合国家标准的产品由专业人员进行安装。
   • 车主应增强安全意识，确保拖车钩的安装和使用不会对自身或他人造成安全隐患。

举例说明：

• 假设您购买了一辆SUV，车辆出厂时并未预留拖车钩的安装位置。但您为了方便拖挂小型旅居挂车，自行在车辆后部加装了一个拖车钩。这种情况下，由于您擅自改变了机动车已登记的结构，可能构成违法行为，面临警告或罚款的处罚。
• 相反，如果您的车辆出厂时就有预留的拖车钩安装位置，并且您按照相关规定安装了符合标准的拖车钩，用于合法拖车作业，那么这种行为就是合法的。

建议：

• 在安装拖车钩前，务必了解并遵守相关法律法规的规定，确保自己的行为合法合规。
• 如果您对拖车钩的安装和使用有任何疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。

总之，私自安装拖车钩是否违法取决于是否满足相关法律法规的要求。车主在进行任何涉及车辆改装的行为之前，务必先了解并遵守相关法律法规的规定，以确保自己的行为合法合规。