关于员工提出解除劳动合同后的赔偿问题，这确实是一个涉及法律条款和具体情况的复杂议题。以下是我为您详细梳理的解答：
一、员工正常辞职的情况
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果员工是基于自身意愿，并且按照法定程序（如提前三十日以书面形式通知用人单位，或在试用期内提前三日通知）来解除劳动合同，那么公司是不需要支付经济补偿金的。这种情况下，公司只需结清员工的工资及其他应付款项即可。
二、公司存在过错导致员工解除劳动合同的情况
如果公司存在某些违法或违约行为，比如未按照劳动合同约定提供劳动保护或劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等，导致员工不得不单方解除劳动合同，那么公司就需要向员工支付经济补偿了。
经济补偿的计算标准通常是按照员工在本单位工作的年限来确定的，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。如果工作时间六个月以上但不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。这里需要注意的是，“月工资”指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
另外，如果劳动者的月工资高于所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，那么经济补偿的标准将按照职工月平均工资三倍的数额来支付，但支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、员工未按法律规定解除劳动合同的情况
如果员工没有按照《劳动合同法》的规定提前通知用人单位，或者违反了服务期约定、竞业限制等条款，那么员工可能需要向公司支付赔偿。赔偿金额一般依据合同约定或公司实际损失来确定，也可能按照约定的违约金来支付。
四、特殊情况下的赔偿
还有一些特殊情况需要注意，比如如果用人单位存在违法行为导致劳动者被迫解除劳动合同，那么用人单位除了需要支付经济补偿金外，还可能面临其他法律责任。另外，如果用人单位违法解除劳动合同，那么应按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
总结与建议
综上所述，员工提出解除劳动合同后公司是否需要支付赔偿，以及赔偿的具体金额，确实取决于解除劳动合同的具体情况和法律依据。因此，在处理此类问题时，我建议您：
希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时告诉我。