结论：员工私下承诺造成公司损失，公司是否可以起诉，需根据具体情况判断，一般而言，若员工行为构成侵权或违反劳动合同约定，公司有权起诉要求赔偿；但若员工行为属于职务行为且公司已授权或追认，则公司可能难以直接起诉员工个人。以下从不同角度详细分析：
一、员工行为性质判断
职务行为与个人行为：
- 职务行为：若员工在执行工作任务过程中，因故意或重大过失造成公司损失，且该行为属于其职责范围内或公司已授权的行为，则通常视为职务行为。在此情况下，公司一般应先通过内部管理机制（如追责、扣减奖金等）处理，若损失重大且内部处理无法弥补，公司可依据《劳动合同法》及相关规定，要求员工承担赔偿责任，但通常需先证明员工存在故意或重大过失。
- 个人行为：若员工私下承诺的行为与其工作职责无关，且未经公司授权或追认，则属于个人行为。在此情况下，若该行为导致公司损失，公司有权依据《侵权责任法》（现为《民法典》侵权责任编）的相关规定，起诉员工要求赔偿。
是否存在故意或重大过失：
- 无论职务行为还是个人行为，若员工存在故意或重大过失导致公司损失，公司均有权要求赔偿。故意是指员工明知自己的行为会导致公司损失而希望或放任这种结果发生；重大过失是指员工因疏忽或懈怠导致公司损失，且这种疏忽或懈怠超出了正常人的注意义务。
二、公司起诉的法律依据
《劳动合同法》：
- 根据《劳动合同法》第九十条：“劳动者违反本法规定解除劳动合同，或者违反劳动合同中约定的保密义务或者竞业限制，给用人单位造成损失的，应当承担赔偿责任。” 若员工行为违反劳动合同约定或公司规章制度，且导致公司损失，公司可依据此条款起诉员工。
《民法典》侵权责任编：
- 若员工行为构成侵权（如故意或重大过失导致公司财产损失），公司可依据《民法典》侵权责任编的相关规定，起诉员工要求赔偿。赔偿范围通常包括直接损失和间接损失，但需公司能够证明损失与员工行为之间的因果关系。
三、实际操作建议
收集证据：
- 公司应首先收集员工行为导致损失的证据，包括但不限于合同、邮件、聊天记录、损失计算依据等。这些证据将用于证明员工行为的存在、损失的大小以及员工行为与损失之间的因果关系。
内部处理：
- 在起诉前，公司可尝试通过内部管理机制处理，如与员工协商赔偿、扣减奖金、解除劳动合同等。若内部处理无法达成一致或损失重大，再考虑起诉。
起诉准备：
- 若决定起诉，公司应准备起诉状、证据材料等，并明确诉讼请求（如要求员工赔偿损失的具体金额）。同时，公司需注意诉讼时效问题，一般应在知道或应当知道权利被侵害之日起三年内提起诉讼。
考虑其他途径：
- 除了起诉员工个人外，公司还可考虑是否涉及第三方责任（如合作伙伴、客户等），并探索通过其他途径（如协商、调解、仲裁等）解决纠纷。
示例：假设某公司员工未经授权私下与客户签订合同，导致公司因无法履行合同而支付违约金。在此情况下，若公司能够证明员工行为未经授权且存在故意或重大过失，则公司有权起诉员工要求赔偿违约金及因此产生的其他损失。
总结：员工私下承诺造成公司损失，公司是否可以起诉需根据具体情况判断。若员工行为构成侵权或违反劳动合同约定，公司有权起诉要求赔偿；但若员工行为属于职务行为且公司已授权或追认，则公司可能难以直接起诉员工个人。在实际操作中，公司应收集证据、尝试内部处理、准备起诉材料，并考虑是否涉及第三方责任及其他解决途径。如有具体法律问题，可直接向我咨询。