员工工作期间打架，用人单位是否可以开除，需分情况讨论，具体如下：

1. 若打架行为严重违反公司规章制度
   根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。若公司规章制度明确将“工作期间打架斗殴”列为严重违纪行为（如通过民主程序制定、已公示或告知员工），且打架行为情节严重（如造成人员受伤、财产损失、影响工作秩序等），用人单位可直接解除劳动合同，无需支付经济补偿。
   关键点：规章制度需合法有效，且打架行为与制度条款匹配。

2. 若打架行为未达严重程度，但构成一般违纪
   若打架情节较轻（如未造成实际损害、双方和解等），用人单位通常不能直接开除，但可依据规章制度给予警告、记过等处分。若员工多次违纪或拒不改正，用人单位可依据《劳动合同法》第四十条，以“不能胜任工作”或“严重违反劳动纪律”为由解除合同，但需支付经济补偿。
   关键点：需证明员工行为符合解除合同的法定或约定条件。

3. 若打架行为涉嫌违法或犯罪
   若打架导致他人轻伤以上，可能构成故意伤害罪（《刑法》第二百三十四条），用人单位可依据《劳动合同法》第三十九条，以“被依法追究刑事责任”为由解除合同。若打架仅违反《治安管理处罚法》（如行政拘留），用人单位能否开除需结合规章制度判断：若制度明确“被行政处罚”属于严重违纪，可解除合同；否则需谨慎处理。
   关键点：刑事责任与行政处罚的区分，以及制度条款的覆盖范围。

实务建议：

• 用人单位应制定明确的规章制度，细化“打架斗殴”的违纪等级及处理方式，并通过培训、公示等方式确保员工知悉。
  
• 解除合同前需收集充分证据（如监控录像、证人证言、医疗记录等），避免因证据不足被认定为违法解除。
  
• 若员工对解除决定不服，可能申请劳动仲裁，用人单位需做好应诉准备。
  

如有具体案件细节（如打架情节、公司制度内容等），可进一步向我咨询，我会结合实际情况为您分析。