《反恐怖主义法》第八十五条的主管部门确实涉及公安机关，但并非仅由公安机关主管，而是多部门协同配合的过程。以下是对这一问题的详细分析：

一、公安机关的主导作用

在《反恐怖主义法》的框架下，公安机关在恐怖案件的侦查阶段承担着主要责任。他们负责立案侦查，收集证据，查明犯罪事实，以及抓捕犯罪嫌疑人。此外，公安机关还依法对恐怖活动进行防范、打击和处置，确保社会安全和稳定。因此，在涉及《反恐怖主义法》第八十五条所规定的恐怖活动相关违法行为时，公安机关无疑是重要的主管部门。

二、其他机关的协同作用

1. 人民检察院：检察机关在反恐工作中同样扮演着重要角色。它们负责对公安机关移送的恐怖案件进行审查起诉，确保案件的合法性和公正性。同时，人民检察院还对公安机关的侦查活动进行监督，确保侦查行为的合法性和规范性。在必要时，检察机关还可以批准逮捕犯罪嫌疑人，并提起公诉。

2. 人民法院：法院是恐怖案件的审判机关。它们负责审理和判决恐怖案件，对被告人进行定罪量刑。法院的审判活动必须严格遵循法律程序，确保审判的公正性和合法性。因此，在涉及《反恐怖主义法》第八十五条的案件中，如果案件进入审判阶段，人民法院将成为主管机关之一。

3. 国家安全机关：在某些涉及国家安全的恐怖案件中，国家安全机关也具有一定的管辖权。它们负责处理那些与国家安全密切相关的恐怖活动，确保国家的安全和稳定。因此，如果《反恐怖主义法》第八十五条所规定的违法行为涉及国家安全，国家安全机关也将成为主管机关之一。

三、具体条款分析

《反恐怖主义法》第八十五条主要规定了恐怖活动相关违法行为的法律责任，包括但不限于组织、领导、参加恐怖组织，为恐怖活动提供资金、物资、技术等支持，以及宣扬恐怖主义、极端主义等行为。这些违法行为的查处和处罚，虽然主要由公安机关负责立案侦查和初步处理，但后续的审查起诉、审判以及涉及国家安全的特殊情况处理，则需要人民检察院、人民法院和国家安全机关等部门的协同配合。

四、建议与总结

1. 对于普通民众：如果发现身边有涉嫌违反《反恐怖主义法》第八十五条的行为，应及时向公安机关报案，由公安机关进行初步调查和处理。

2. 对于涉及案件的当事人：如果因涉嫌违反《反恐怖主义法》第八十五条而被立案侦查或起诉，应积极配合公安机关、人民检察院和人民法院的工作，依法维护自己的合法权益。

3. 多部门协同：处理涉及《反恐怖主义法》第八十五条的案件是一个多部门协同配合的过程。公安机关、人民检察院、人民法院和国家安全机关等部门将根据各自的职责和法律规定，在反恐工作中发挥着重要作用。

如有任何关于《反恐怖主义法》或其他刑事案件的法律问题，可以直接向我咨询。我将结合你的具体情况，为你提供全面、准确的法律解答。