结论是：别人家孩子教唆你家孩子卖掉你家手机的行为，可能涉及违法，具体取决于孩子的年龄、行为性质以及造成的后果等多个因素。以下从不同角度为你详细分析：

一、从孩子年龄角度分析

1. 如果教唆者和被教唆者都是未成年人，且年龄较小：

   • 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，不满十四周岁的人，不管实施何种危害社会的行为，都不负刑事责任。因此，如果两个孩子都未满十四周岁，那么他们的行为虽然不当，但不会受到刑事处罚。不过，这并不意味着他们的行为没有后果，家长或监护人可能需要承担一定的民事责任，比如赔偿手机的价值等。
   • 同时，从民事法律关系的角度来看，无民事行为能力人或限制民事行为能力人造成的损害，由其监护人承担侵权责任。所以，如果手机被卖掉造成了经济损失，你可以要求对方孩子的监护人进行赔偿。

2. 如果教唆者已满十四周岁，而被教唆者未满十四周岁：

   • 教唆者可能构成教唆犯罪。根据《中华人民共和国刑法》第二十九条：“教唆他人犯罪的，应当按照他在共同犯罪中所起的作用处罚。教唆不满十八周岁的人犯罪的，应当从重处罚。” 在这种情况下，教唆者可能会因为教唆未成年人犯罪而受到更严厉的刑事处罚。
   • 被教唆者由于未满十四周岁，仍然不负刑事责任，但家长或监护人需要承担相应的民事责任。

3. 如果双方都已满十四周岁：

   • 双方都可能构成犯罪。被教唆者实施了盗窃行为（卖掉你家手机），如果手机价值达到一定标准，可能构成盗窃罪；教唆者则构成教唆犯罪，需要按照其在共同犯罪中的作用进行处罚。

二、从行为性质角度分析

• 如果手机被卖掉的行为构成盗窃：

  • 盗窃是指以非法占有为目的，秘密窃取公私财物的行为。在这个案例中，如果别人家孩子教唆你家孩子秘密卖掉你家手机，且手机价值达到当地盗窃罪的立案标准，那么这一行为就构成了盗窃。
  • 无论孩子年龄大小，这一行为都是违法的，只是根据年龄不同，承担的法律责任不同。

• 如果手机被卖掉的行为不构成盗窃，但属于恶意破坏或侵占：

  • 即使手机价值未达到盗窃罪的立案标准，或者行为方式不完全符合盗窃的定义，但如果这一行为是出于恶意破坏或侵占的目的，那么仍然可能构成其他违法行为，如故意毁坏财物罪（如果手机被损坏）或侵占罪（如果手机被非法占有且拒不归还）。
  • 不过，对于未成年人来说，这些罪名的适用也需要考虑其年龄和认知能力等因素。

三、建议与措施

1. 与对方家长沟通：

   • 首先，你可以尝试与对方家长进行沟通，了解事情的全貌，并协商解决方案。如果对方家长愿意承担责任并赔偿损失，那么问题可能得到妥善解决。

2. 收集证据：

   • 如果沟通无果，或者你认为对方家长的处理方式不满意，那么你可以开始收集证据，如监控录像、证人证言、手机购买凭证等，以证明手机的所有权和被卖掉的事实。

3. 报警或起诉：

   • 根据证据情况和损失大小，你可以选择报警或向法院提起诉讼。如果手机价值较大或者行为性质恶劣，报警并让警方介入调查可能是一个更好的选择。如果损失较小或者你更倾向于通过法律途径解决纠纷，那么可以向法院提起民事诉讼要求赔偿。

4. 关注孩子心理：

   • 无论结果如何，都不要忽视这一事件对孩子心理的影响。与孩子进行沟通，了解他们的想法和感受，帮助他们树立正确的价值观和法律意识。

在处理这类问题时，请保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。