租房合同到期后，只要租赁关系实际存在且支付了租金，仍然可以要求房东开具发票。以下是详细分析：

1. 发票开具的法律依据
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。租房属于“提供服务”范畴，房东收取租金后，有义务开具发票，无论合同是否到期，只要租赁关系实际存续且租金支付行为存在，房东均需履行开票义务。

2. 合同到期后的处理
   若合同到期后，租客继续居住并支付租金，双方形成不定期租赁关系（依据《民法典》第七百三十四条）。此时，房东仍需按实际收取的租金开具发票。若房东拒绝开票，租客可通过以下途径解决：

   • 协商：与房东沟通，明确开票要求及税款承担方式（通常由房东承担，但可协商约定）；
     
   • 投诉：向当地税务机关举报（如12366纳税服务热线），税务机关可责令房东限期改正并处罚；
     
   • 诉讼：若因开票问题产生纠纷（如房东拒开发票导致租客无法报销），可向法院起诉，要求房东履行开票义务或赔偿损失。

3. 特殊情况说明

   • 个人房东免税额度：若房东为个人且月租金不超过10万元（小规模纳税人免税标准），可能享受免税政策，但仍需开具免税发票（依据《增值税暂行条例》及财税〔2019〕13号文）；
     
   • 税款承担：若合同约定租客承担税款，房东需先按实际租金申报纳税，再由租客支付税款后开票。但此类约定需明确写入合同，否则默认由房东承担税款。

建议：若房东拒绝开票，租客可先保留租金支付凭证（如转账记录、收据），再通过税务投诉或法律途径维权。如有其他细节需进一步分析（如合同条款、租金支付方式等），可直接向我咨询。