结论前置：针对“别人的树把我的鸡棚砸了”这一问题，您有权要求树木的所有者或管理人承担相应的赔偿责任。以下是具体分析和建议：
法律责任分析：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因林木折断、倾倒或者果实坠落等造成他人损害，林木的所有人或者管理人不能证明自己没有过错的，应当承担侵权责任。这意味着，如果别人的树因为自然原因（如风大、树老等）或管理不善（如未及时修剪、加固等）导致砸坏您的鸡棚，树木的所有者或管理人通常需要承担赔偿责任。
赔偿范围确定：
- 赔偿范围应包括您因鸡棚被砸而遭受的直接经济损失，如鸡棚的修复费用、因鸡棚损坏导致的鸡只损失等。如果鸡棚的损坏还导致了其他间接损失（如因鸡只死亡而减少的鸡蛋产量等），这些损失在合理范围内也可能得到赔偿，但具体需根据实际情况和证据来判断。
证据收集与保存：
- 在要求赔偿前，您应尽可能收集并保存相关证据，如鸡棚被砸的照片、视频、树木的所有者或管理人的信息、鸡棚的修复费用清单、鸡只的损失证明等。这些证据将有助于您在后续协商或诉讼中证明自己的损失和对方的责任。
协商与诉讼途径：
- 协商：您可以先尝试与树木的所有者或管理人进行协商，说明情况并提出合理的赔偿要求。如果对方同意赔偿，双方可以签订书面协议以明确赔偿金额和支付方式等。
- 诉讼：如果协商无果或对方拒绝赔偿，您可以考虑向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提交上述收集的证据来证明自己的损失和对方的责任。法院将根据事实和法律规定作出判决，要求对方承担相应的赔偿责任。
注意事项：
- 在处理此类纠纷时，请保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击对方。
- 如果可能的话，可以寻求当地村委会、居委会或相关部门的帮助和调解，以更和平、高效的方式解决纠纷。
进一步思考：在处理此类侵权纠纷时，除了法律途径外，还可以考虑其他非诉讼解决方式，如调解、仲裁等。这些方式通常更加灵活、高效，且能够节省双方的时间和成本。当然，具体选择哪种解决方式还需根据实际情况和双方意愿来决定。如果您在处理过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。