您好，关于第一顺序继承人证明的出具部门，这通常是由被继承人或继承人的人事档案管理部门来负责的。具体来说，这个证明需要详细列出被继承人的父母、配偶和子女的情况，包括他们的姓名以及生存状态。

在办理继承权公证的过程中，这个第一顺序继承人证明是关键的所需材料之一。除了这个证明，您还需要准备其他一系列文件，比如被继承人的死亡证明、遗产证明，以及能够证明您与被继承人关系的文件，如户口本、身份证等。

办理继承权公证，您可以前往继承人住所地或遗产所在地的公证机构进行申请。如果涉及的是不动产，那么应该去不动产所在地的公证机构办理。在申请时，公证处会对您提交的所有证明材料进行逐一核实，确保信息的真实性和完整性。

总的来说，为了顺利办理继承权公证，我建议您先联系被继承人或继承人的人事档案管理部门，获取第一顺序继承人证明，并同时准备好其他所需的证明材料。这样，当您前往公证处申请时，就能更加高效地完成整个流程。希望这个解答能对您有所帮助，如果您还有其他问题，欢迎随时咨询。