在走私案件中，关于罚金的执行部门，这是一个涉及法律程序和司法机关职责的重要问题。首先，需要明确的是，走私案件的罚金是由第一审人民法院负责执行的。

这一规定确保了罚金执行的一致性和权威性，因为人民法院作为司法机关，具有对法律判决进行执行的法定职责。在执行罚金时，人民法院会采取一系列强制措施，如查询、冻结、划拨被执行人的银行存款，以及查封、扣押、拍卖被执行人的财产等，以确保罚金刑得到有效执行。

同时，我们也应该了解到，海关在走私案件的查处过程中也扮演着重要角色。海关主要负责走私行为的行政处罚和刑事侦查工作，包括侦查、拘留、执行逮捕、预审等。然而，尽管海关在打击走私犯罪中发挥着不可或缺的作用，但罚金的执行并不属于海关的职责范围，而是属于司法程序的一部分，由人民法院负责。

在实际操作中，海关和公安机关会进行密切的配合和协作，共同打击走私犯罪活动。这种协作机制确保了走私案件能够得到及时、有效的处理，同时也维护了国家法律的尊严和权威。

此外，对于罚金执行的特殊情况，如罪犯因遭遇不可抗拒的灾祸等原因缴纳罚金确有困难时，人民法院会根据具体情况裁定延期缴纳、酌情减少或者免除罚金。这一规定体现了法律的人文关怀和灵活性。

综上所述，走私案件的罚金是由第一审人民法院负责执行的。海关在走私案件的查处过程中虽然扮演着重要角色，但罚金的执行并不属于其职责范围。在实际操作中，各部门之间会密切配合和协作，共同打击走私犯罪活动。