公司客运师傅驾驶小车超载1人，通常需承担行政责任，若引发事故还可能涉及民事赔偿甚至刑事责任。具体处理方式需结合实际情况，以下分情况详细说明：

1. 行政责任层面
   根据《道路交通安全法》第九十二条，公路客运车辆载客超过额定乘员的，处二百元以上五百元以下罚款；超过额定乘员百分之二十或者违反规定载货的，处五百元以上二千元以下罚款。

   • 若车辆核载5人，实际载6人（超员20%以内），一般处200-500元罚款，并可能扣分（具体扣分标准需结合地方规定，通常超员20%以下扣3分）。
     
   • 若超员比例更高（如核载5人载7人，超员40%），罚款和扣分力度会加大，可能面临500-2000元罚款及扣6分。
     处理建议：司机需配合交警处理，公司应督促司机接受处罚，并加强内部安全教育，避免类似行为。

2. 民事赔偿层面
   若超载导致交通事故，司机和公司可能需承担更高比例的赔偿责任。根据《民法典》第一千二百零九条，因租赁、借用等情形机动车所有人、管理人与使用人不是同一人时，发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，由机动车使用人承担赔偿责任；机动车所有人、管理人对损害的发生有过错的，承担相应的赔偿责任。

   • 公司作为车辆管理方，若未尽到安全监管义务（如未定期检查车辆载客情况），可能被认定存在过错，需与司机共同承担赔偿责任。
     处理建议：公司应立即启动事故处理流程，协助伤者救治，并联系保险公司理赔。同时，需保留事故现场证据（如行车记录仪、交警认定书），以便后续维权或抗辩。

3. 刑事责任层面（极端情况）
   若超载导致严重交通事故（如死亡1人或重伤3人以上，且负事故主要或全部责任），司机可能构成交通肇事罪，面临三年以下有期徒刑或拘役。公司若存在指使、强令司机超载等行为，可能构成共犯或需承担单位犯罪责任。
   处理建议：若事故严重，司机和公司应立即委托律师介入，配合调查的同时争取从轻情节（如自首、积极赔偿）。公司需审查内部管理制度，避免因管理疏漏导致刑事风险。

公司管理建议：

• 定期组织司机安全培训，强调超载的违法性和危害性；
  
• 在车辆上安装超载报警装置，或通过调度系统监控载客情况；
  
• 制定内部处罚机制，对超载司机予以警告、罚款或停职处理；
  
• 购买足额的第三者责任险和车上人员责任险，降低事故赔偿风险。
  

如有进一步疑问（如具体罚款标准、事故赔偿流程等），可直接向我咨询，我会结合您所在地区的具体规定为您详细解答。