结论：公司快破产且无人愿意担任法定代表人时，可通过内部协商、变更法定代表人、破产管理人接管或依法承担责任等方式解决，具体需结合公司实际情况和法律规定处理。以下是详细分析：

1. 内部协商与激励措施
   若公司尚未进入破产程序，可尝试通过内部协商解决。例如，与现有股东或高管沟通，说明法定代表人职责的有限性（如仅需配合程序性事务，不必然承担个人责任），或通过股权激励、薪酬调整等方式激励其担任。需注意，法定代表人需承担忠实勤勉义务，但破产本身不直接导致其个人负债（除非存在恶意逃债等违法行为）。

2. 依法变更法定代表人
   根据《公司法》第十三条，法定代表人由董事长、执行董事或经理担任。若原法定代表人拒不配合变更，可通过股东会决议免除其职务并选举新任人选，随后办理工商变更登记。若公司已无人愿意担任，可考虑由控股股东或实际控制人指定人员，或通过司法途径强制变更（如原法定代表人失联时，可向法院申请指定代表人）。

3. 破产程序中的管理人接管
   若公司已进入破产程序（《企业破产法》第二条），法院将指定破产管理人接管公司事务。此时，法定代表人职责由管理人承担，原法定代表人需配合移交资料、接受询问等，但无需继续履行日常管理职责。若无人愿意担任破产前的法定代表人，管理人可代表公司处理后续事务，直至破产程序终结。

4. 法定代表人责任的风险规避
   需明确：法定代表人仅在特定情形下承担个人责任（如《公司法》第二十条规定的滥用权利损害债权人利益、《企业破产法》第一百二十五条规定的董事、监事或高管违反忠实勤勉义务导致破产等）。若公司破产系因市场风险或经营不善，且法定代表人无违法行为，其个人财产通常不受牵连。因此，可通过法律文书明确职责边界，降低潜在风险。

行动建议：

• 优先通过股东会决议变更法定代表人，并办理工商登记；
  
• 若公司已破产，及时与管理人沟通，明确职责转移；
  
• 保留所有决策文件、财务记录等证据，以证明无违法行为；
  
• 如遇强制担任或责任争议，可进一步向我咨询具体应对方案。
  

（如有其他细节需补充，如公司类型、破产原因等，可随时告知以便更精准分析。）