结论前置：工厂或公司无缘无故开除员工属于违法解除劳动合同，员工有权依法获得经济赔偿金，赔偿金通常是经济补偿标准的二倍。

一、赔偿依据与标准

1. 经济补偿计算依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
   • 工作年限六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。
   • 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于所在地直辖市或设区的市级人民政府公布的上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

2. 赔偿金计算：

   • 赔偿金为经济补偿标准的二倍。即，赔偿金 = 经济补偿 × 2。

举例说明：

• 假设小张在工厂工作4年3个月，平均月工资6000元。因其工作年限按4.5年计算，经济补偿为\(4.5 \times 6000 = 27000\)元，赔偿金则为\(27000 \times 2 = 54000\)元。
• 若小赵在工厂工作1年1个月，平均月工资8000元，且当地上年度职工月平均工资为5000元（小赵月工资未超过三倍）。因其工作年限按1.5年计算，经济补偿为\(1.5 \times 8000 = 12000\)元，赔偿金则为\(12000 \times 2 = 24000\)元。

二、主张赔偿的途径

1. 协商解决：

   • 员工首先应与工厂或公司进行协商，要求支付赔偿金，并保留相关沟通记录作为证据。

2. 劳动仲裁：

   • 协商不成时，员工可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请书、劳动关系证明（如劳动合同、工资条、工作证等）及工厂或公司违法解除劳动合同的证据（如开除通知）。

3. 诉讼解决：

   • 如对仲裁结果不满意，员工可在规定期限内向人民法院提起诉讼。

三、注意事项

• 证据收集：员工应保留所有与工作相关的文件和证据，如劳动合同、工资单、工作记录、开除通知等，这些都是日后维权的关键。
• 时效性：员工应在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内申请劳动仲裁，以免超过时效而丧失维权机会。
• 特殊保护群体：对于三期女职工、医疗期内职工等特殊群体，工厂或公司不得随意解除劳动合同，否则将面临更高额度的违法赔偿。

四、其他可能的情况

• 代通知金：在特定情况下（如未提前三十日以书面形式通知劳动者解除劳动合同），工厂或公司可能需额外支付一个月工资作为代通知金。但这一要求并非所有无故开除情况下都适用，需根据具体情况判断。
• 无需赔偿的情形：如果员工存在严重过错（如试用期不符合录用条件、严重违纪、营私舞弊等），或者工厂或公司依法进行经济性裁员且程序合法，则可能无需支付赔偿金。但这些情况都有严格的法律定义和程序要求，工厂或公司不能随意主张。

综上所述，工厂或公司无缘无故开除员工是违法行为，员工应依法维护自身权益，通过协商、仲裁或诉讼途径主张经济赔偿金。在主张权益过程中，员工应保留相关证据，并了解自己的权利和可行的法律途径。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。