结论：大货车与小车发生事故后，小车保险公司是否理赔以及能否再向私人索赔，需分情况讨论，具体如下：

1. 小车保险公司是否理赔

   • 交强险范围内：若大货车无责，小车保险公司需在交强险“无责任赔偿限额”内承担赔偿责任（医疗费用限额1800元，死亡伤残限额1.8万元，财产损失限额100元）。若大货车有责，小车保险公司需在交强险“有责任赔偿限额”内赔偿（医疗费用限额1.8万元，死亡伤残限额18万元，财产损失限额2000元）。
   • 商业险范围内：若小车购买了车损险、第三者责任险等商业险，且事故符合保险合同约定（如非故意碰撞、非酒驾等免责情形），保险公司需按合同约定赔偿。例如，小车自身损失可由车损险赔付，大货车损失可由第三者责任险赔付。
   • 例外情形：若小车存在酒驾、无证驾驶、故意制造事故等违法行为，保险公司可能拒赔；若事故属于保险合同约定的免责范围（如战争、核污染等），保险公司亦不承担赔偿责任。

2. 能否再向私人索赔

   • 保险公司赔付不足时：若保险公司赔付后，损失仍未完全弥补（如医疗费超出交强险和商业险限额），可向大货车驾驶员或车主（即“私人”）索赔剩余部分。例如，大货车驾驶员因过错导致事故，需按责任比例承担超出保险部分的赔偿责任。
   • 保险公司拒赔或免赔时：若保险公司因免责条款拒赔，但大货车驾驶员存在过错（如未保持安全距离），可直接向其索赔全部损失。此时需注意，若大货车驾驶员已购买保险，其可能主张由保险公司赔付，但若保险公司拒赔有效，则需由驾驶员自行承担。
   • 特殊情形：若大货车驾驶员与车主非同一人（如雇佣关系），且驾驶员因职务行为导致事故，车主可能需承担连带赔偿责任；若车辆存在缺陷（如刹车失灵）且车主知情，车主亦可能需承担部分责任。

建议：

• 事故发生后，立即报警并保留现场证据（如照片、视频、证人联系方式），以便后续划分责任。
• 及时联系保险公司报案，并配合调查，避免因未及时报案导致拒赔。
• 若损失较大或责任争议，建议委托律师介入，通过诉讼或协商维护权益。例如，若大货车驾驶员拒绝赔偿，可向法院起诉其及保险公司（若涉及商业险），要求按责任比例赔偿。

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合具体案情为您详细分析。