关于健身房关闭不退费信访的负责部门，这主要取决于健身房的性质以及具体的纠纷情况，但一般来说，消费者可以向市场监督管理部门或消费者协会进行信访投诉。以下是从不同角度的详细分析：

1. 市场监督管理部门：

   • 职责范围：市场监督管理部门负责监管市场秩序，包括处理消费者投诉和举报，对商家的违法行为进行调查和处理。
   • 应用场景：如果健身房因经营不善或其他原因关闭，且拒绝退还消费者预付款项，这可能构成违法行为。消费者可以向当地的市场监督管理部门投诉，要求其介入调查并处理。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》等相关法律法规，商家有义务按照约定提供商品或服务，否则应承担相应的法律责任。

2. 消费者协会：

   • 职责范围：消费者协会是保护消费者合法权益的社会组织，可以提供消费咨询、投诉处理等服务。
   • 应用场景：如果消费者与健身房之间因退费问题产生纠纷，且无法通过协商解决，可以向当地的消费者协会投诉。消费者协会可以协助消费者与健身房进行沟通，促成双方达成和解。
   • 实际操作：在投诉时，消费者应提供相关证据，如合同、付款凭证、沟通记录等，以便消费者协会更好地了解情况并处理投诉。

3. 法律途径：

   • 诉讼：如果信访投诉无法解决问题，消费者还可以考虑通过法律途径维护自己的权益。可以向法院提起诉讼，要求健身房退还预付款项并承担相应的法律责任。
   • 仲裁：如果合同中有仲裁条款，消费者也可以选择向仲裁机构申请仲裁，以解决纠纷。

建议与提醒：

• 在处理此类纠纷时，消费者应保留好相关证据，如合同、付款凭证、沟通记录等，以便在需要时提供证明。
• 如果可能的话，尽量与健身房进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
• 如果协商无果，再考虑通过信访投诉或法律途径维护自己的权益。

如果您在处理此类纠纷时遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。作为专注于合同纠纷领域的律师，我将竭诚为您提供专业的法律服务。