关于私立诊所开展日夜门诊是否合法的问题，这主要取决于诊所是否具备合法的执业资质以及是否遵守了相关的医疗管理规定。以下是我为您提供的详细解答：

首先，私立诊所要开展任何形式的医疗服务，包括日夜门诊，都必须首先取得《医疗机构执业许可证》。这是开展医疗活动的基本前提，也是确保医疗服务合法性和安全性的重要保障。如果诊所没有取得这一许可证，那么其开展的所有医疗服务，包括日夜门诊，都是非法的。

其次，即使诊所取得了《医疗机构执业许可证》，也并不意味着它可以随意开展日夜门诊。诊所还需要遵守相关的医疗管理规定，比如确保有足够的医护人员值班、保证医疗设备的安全和有效运行、提供符合标准的医疗环境等。这些规定旨在保障患者的权益和安全，防止因医疗服务不当而引发的医疗事故和纠纷。

此外，从近期多地印发的关于整治民营医疗机构诊疗乱象的通知来看，政府对民营医疗机构的监管正在不断加强。这些通知明确要求民营医疗机构要规范诊疗行为，严禁夸大疗效、虚假宣传等误导患者的行为。因此，私立诊所在开展日夜门诊时，也需要特别注意遵守这些规定，确保自己的宣传和服务都是真实、准确、客观的。

总结来说：私立诊所开展日夜门诊本身并不违法，但前提是诊所必须取得合法的执业资质，并遵守相关的医疗管理规定。如果诊所没有取得《医疗机构执业许可证》或者违反了相关的医疗管理规定，那么其开展日夜门诊就是非法的，可能会面临政府的处罚和患者的投诉。

如果您对某家私立诊所的合法性有疑问，或者发现其存在违法违规行为，建议您及时向当地的卫生健康部门举报投诉。同时，也希望您在选择医疗服务时，能够选择合法、正规、有资质的医疗机构，以保障自己的权益和安全。