当劳动合同到期后，若用人单位未续签却继续用工，这确实是一个涉及法律责任和赔偿的问题。以下是对此问题的详细解答：
一、未续签书面劳动合同的法律责任
1. 双倍工资赔偿
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：从劳动合同到期后的第二个月开始计算，最多支付11个月的双倍工资。例如，如果合同在2024年1月1日到期，且未续签但继续用工，那么从2024年2月1日起，用人单位就需要支付双倍工资，直至2024年12月31日（或实际签订书面劳动合同之日，以先到者为准）。
- 工资计算基数：双倍工资的计算基数是劳动者当月应得工资，这通常不包括周期性奖金、加班费等非常规性收入。
2. 无固定期限劳动合同的建立
- 如果用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，那么根据法律规定，将视为双方已经建立了无固定期限劳动合同关系。此时，劳动者将享有无固定期限劳动合同员工的所有待遇和权益。
二、经济补偿的支付
1. 经济补偿的适用情形
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满终止时，除非用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意，否则用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
2. 计算方式
- 经济补偿的计算是基于劳动者在本单位工作的年限。每满一年，用人单位需要支付一个月工资作为经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
3. 特殊情况下的双倍经济补偿
- 如果用人单位在已经视为建立无固定期限劳动合同关系后，仍然拒绝补订书面劳动合同或者违法解除劳动关系，那么劳动者有权要求用人单位按照经济补偿标准的两倍支付赔偿金。
三、劳动者的维权途径
面对用人单位不续签劳动合同且继续用工却不依法赔偿的情况，劳动者可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
- 与用人单位协商：首先尝试与用人单位进行沟通，明确表达自己的诉求和要求，看是否能够达成和解。
- 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，劳动者可以向当地的劳动监察部门投诉，由劳动监察部门进行调查并责令用人单位改正。
- 申请劳动仲裁：如果上述途径都无法解决问题，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律手段来维护自己的权益。
四、重要注意事项
- 证据收集：在整个过程中，劳动者应当妥善保留相关证据，如工资单、工作证、考勤记录等，以备在主张权益时使用。
- 时效性：双倍工资等赔偿请求具有一定的时效性，劳动者应当及时行使自己的权利，避免错过法律规定的时效期限。
综上所述，当劳动合同到期后未续签但继续用工时，用人单位需要承担支付双倍工资和经济补偿的法律责任。劳动者应当了解自己的权益，并在遇到问题时及时采取合法措施来维护自己的权益。如果遇到复杂情况或不确定如何处理时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律帮助。