结论前置：被行政处罚的当事人在认为行政处罚存在违法情形、程序不当、显失公正或侵犯其合法权益时，可以依法向人民法院提起行政诉讼。以下是对可提起诉讼的具体情形及相关法律要点的详细阐述。
对行政处罚决定不服：
- 情形：当事人若对行政拘留、暂扣或吊销许可证和执照、责令停产停业、没收违法所得、没收非法财物、罚款、警告等行政处罚决定不服，认为处罚缺乏法律依据、程序违法或处罚显失公正，均有权提起行政诉讼。
- 例子：商家因销售过期食品被市场监管部门处以高额罚款，商家认为罚款金额过高且缺乏充分依据，即可向法院提起诉讼。
行政处罚程序违法：
- 情形：行政机关在实施行政处罚时，若未依法告知当事人作出行政处罚决定的事实、理由及依据，或未给予当事人陈述、申辩的机会，构成程序违法，当事人可提起行政诉讼。
- 例子：公安机关在作出行政拘留决定前，未依法告知当事人有权陈述和申辩，当事人可就此程序违法提起诉讼。
行政处罚超越职权或滥用职权：
- 情形：行政机关超出自身法定权限范围作出行政处罚，或为了不正当目的而作出处罚决定，构成超越职权或滥用职权，当事人可提起行政诉讼。
- 例子：某部门无权实施某项行政处罚却擅自进行，或行政机关因个人恩怨对当事人进行不公正处罚，当事人均可提起诉讼。
行政处罚显失公正：
- 情形：处罚结果与违法行为的情节、危害程度等明显不相适应，无论是畸轻还是畸重，均属于显失公正的处罚，当事人可提起行政诉讼。
- 例子：对于轻微的违法行为，行政机关却作出了极其严厉的处罚，当事人认为处罚显失公正，可提起诉讼。
行政机关不履行法定职责导致处罚不当：
- 情形：行政机关在应当履行法定职责而未履行，或履行职责不当导致当事人受到不公正处罚时，当事人可提起行政诉讼。
- 例子：行政机关在接到当事人举报后未及时调查处理，导致当事人继续受到违法行为侵害，并因此受到行政处罚，当事人可就此提起诉讼。
提起行政诉讼的条件：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十九条的规定，提起行政诉讼需满足以下条件：
- 原告是符合本法第二十五条规定的公民、法人或者其他组织；
- 有明确的被告；
- 有具体的诉讼请求和事实根据；
- 属于人民法院受案范围和受诉人民法院管辖。
法律建议：
- 在提起行政诉讼前，建议当事人先仔细审查行政处罚决定书及相关证据材料，确认是否存在上述可提起诉讼的情形。
- 若认为行政处罚存在违法或不当之处，可先尝试通过行政复议等途径解决争议。若行政复议结果仍不满意，再考虑提起行政诉讼。
- 在提起行政诉讼时，务必准备充分的证据材料，并按照法定程序进行诉讼活动，以确保自身权益得到有效维护。
可能法律后果：
- 若法院经审理认为行政处罚确实存在违法或不当之处，可能会判决撤销或变更行政处罚决定，从而维护当事人的合法权益。
- 若法院经审理认为行政处罚合法有效，则可能会驳回当事人的诉讼请求。因此，在提起行政诉讼前，当事人应充分评估诉讼风险，并谨慎决策。
综上所述，被行政处罚的当事人在认为行政处罚存在违法情形、程序不当、显失公正或侵犯其合法权益时，可以依法向人民法院提起行政诉讼。在提起诉讼前，建议当事人仔细审查相关证据材料，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。