街道办在对方手续模糊的情况下私自公开您的个人信息，属于违法行为，您可以通过以下途径进行追责：

1. 明确侵权行为与法律依据
   根据《中华人民共和国民法典》第一千零三十四条，自然人的个人信息受法律保护，任何组织或个人不得非法收集、使用、加工、传输他人个人信息，也不得非法买卖、提供或公开他人个人信息。街道办作为行政机关，若未依法履行审查义务，在手续模糊的情况下公开您的个人信息，构成对个人信息权益的侵害。
   若街道办的行为涉及行政权力滥用（如未履行法定程序、超越职权范围），还可能违反《中华人民共和国政府信息公开条例》中关于“公开信息需以合法、正当、必要为原则”的规定。

2. 追责途径与具体操作

   • 行政投诉：
     向街道办的上级行政机关（如区政府或街道办事处所属的区级部门）提出书面投诉，要求其调查并纠正违法行为。投诉时需提供街道办公开信息的具体内容、时间、方式（如公告栏、网站等）及手续模糊的证据（如对方未出示合法授权文件、审批流程不完整等）。
     
   • 民事索赔：
     若因信息泄露导致您遭受名誉损害、经济损失（如诈骗风险、精神损害等），可依据《民法典》第一千零三十七条，向法院提起民事诉讼，要求街道办停止侵害、赔礼道歉、赔偿损失。需注意收集证据（如公开信息的截图、因泄露产生的实际损失凭证等）。
     
   • 行政复议或诉讼：
     若街道办拒绝纠正或您认为其行为属于行政违法，可向区政府申请行政复议，或直接向法院提起行政诉讼，要求确认其公开行为违法并撤销相关决定。

3. 关键证据收集建议

   • 固定街道办公开信息的证据（如拍照、录像、网页存档等）；
     
   • 留存对方手续模糊的证明（如要求街道办出示公开依据时对方无法提供，或提供的文件存在瑕疵）；
     
   • 记录信息泄露后的影响（如接到骚扰电话、遭受诈骗尝试等），必要时可报警留存记录。

4. 注意事项

   • 追责时效：民事诉讼时效为3年，自您知道或应当知道权益受损之日起计算；行政复议需在知道行为之日起60日内提出。
     
   • 程序优先：建议先通过行政投诉或复议解决，效率较高；若未获满意结果，再启动诉讼程序。
     

行动建议：立即整理证据，向街道办书面提出异议并要求撤回信息，同时启动行政投诉程序。若需进一步协助，可随时向我咨询具体操作细节。