劳务派遣员工在公司受伤，责任主要由劳务派遣单位承担工伤保险责任，若用工单位存在过错，则也需承担相应的补充赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：

一、法律关系及责任主体认定

1. 劳务派遣单位责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是劳动者的用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。这意味着，劳务派遣单位需为员工缴纳工伤保险，并在员工受伤时，依法申请工伤认定，支付工伤待遇。若未依法缴纳工伤保险，则需按照工伤保险待遇项目和标准自行支付费用。

2. 用工单位责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条，用工单位若给被派遣劳动者造成损害，应与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。这通常涉及用工单位未提供安全工作环境、未进行必要安全培训等过错情况。例如，如果用工单位的设备存在安全隐患，导致劳务派遣员工受伤，那么用工单位就需要承担相应的赔偿责任。

二、工伤认定程序与赔偿流程

1. 工伤认定：

   • 劳务派遣单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。若公司未按时申请，员工或其近亲属、工会组织可在1年内直接提出申请。申请时需提供工伤认定申请表、劳动关系证明材料、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等。

2. 劳动能力鉴定：

   • 工伤职工经治疗伤情相对稳定后，可申请劳动能力鉴定，以确定伤残等级和相应的赔偿标准。这是赔偿流程中的重要环节，因为伤残等级将直接影响赔偿金额。

3. 赔偿申请：

   • 携带工伤认定决定书、劳动能力鉴定书等资料申请工伤保险待遇。已缴纳工伤保险的，由工伤保险基金支付大部分赔偿；未缴纳的，由劳务派遣单位支付。赔偿项目包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残津贴等。因工死亡的，遗属可领取丧葬补助金、一次性工亡补助金和供养亲属抚恤金。

三、具体情形下的责任划分

1. 正常履行工作职责受伤：

   • 在这种情况下，责任主要由劳务派遣单位承担。劳务派遣单位需为员工申请工伤认定，并支付相应的工伤待遇。

2. 用工单位存在过错：

   • 如果用工单位存在过错，如未提供安全工作环境、未进行必要安全培训等，导致员工受伤，那么用工单位需与劳务派遣单位共同承担赔偿责任。具体责任比例可能根据过错程度、损害后果等因素进行划分。

3. 第三方侵权导致：

   • 如果员工受伤是由第三方侵权导致的，如交通事故、故意伤害等，那么员工可以要求第三方承担赔偿责任。同时，劳务派遣单位仍需承担工伤保险责任，为员工申请工伤认定并支付相应的工伤待遇。但需要注意的是，如果员工已经从第三方获得了赔偿，那么工伤保险基金或劳务派遣单位在支付赔偿时可能会相应扣减。

四、纠纷解决途径

1. 协商解决：

   • 首选方式，效率高、成本低，能快速解决纠纷。劳务派遣单位、用工单位和员工可以通过协商达成一致意见，解决赔偿问题。

2. 劳动仲裁：

   • 如果协商不成，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将根据法律和事实作出裁决，解决纠纷。

3. 诉讼解决：

   • 如果对仲裁裁决不服，员工可以向人民法院提起诉讼。法院将根据法律和事实作出判决，解决纠纷。

五、其他注意事项

• 劳务派遣单位与用工单位可在劳务派遣协议中约定损害赔偿分担方式，但此约定不能对抗受伤员工的直接求偿权。这意味着，即使协议中有相关约定，员工仍然可以直接向劳务派遣单位或用工单位要求赔偿。
• 劳务派遣员工在工伤期间享有相应的工资福利待遇，具体标准按法律规定执行。这包括停工留薪期工资、护理费等。

温馨提示：如果您或您身边的人遇到了劳务派遣员工受伤的问题，建议及时咨询专业律师（即我本人），以便更好地维护自己的合法权益。