结论：老赖死亡后，其债务一般不由父母承担，但具体情况需根据是否继承遗产及债务性质来判断。
一、一般情况：父母无偿还义务
根据《中华人民共和国民法典》的规定，自然人的民事权利能力始于出生，终于死亡。当老赖（债务人）死亡后，其民事主体资格消灭，债务原则上仅以债务人本人的财产为限进行偿还。父母作为独立的民事主体，一般情况下不需要对子女的债务承担偿还责任。这是因为债务具有相对性，仅由债务人本人负责，不会因债务人的死亡而自动转移给其亲属。
二、特殊情况：父母可能需承担债务
父母继承了老赖的遗产
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这意味着，如果父母继承了老赖的遗产，他们需要在继承遗产的实际价值范围内偿还老赖的债务。例如，若老赖留下50万元的遗产，而生前债务为30万元，则父母需用这部分遗产来偿还债务；若债务超出遗产价值，父母只需在遗产范围内偿还，超出部分无义务偿还，但可自愿偿还。
债务属于家庭共同债务
- 如果该债务是用于家庭共同生活、共同经营等，并因此被视为家庭共同债务，那么父母即使未继承遗产，也可能需要对该债务承担偿还责任。例如，若老赖以个人名义借款用于家庭共同经营的生意，且父母是经营者之一，则他们需与老赖共同承担债务，在老赖死后仍需继续偿还。
父母明确放弃继承
- 如果父母选择放弃继承遗产，根据法律规定，他们对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负偿还责任。这一选择可以免除父母对子女债务的担忧。
三、债权人如何维护自身权益
- 确定是否有遗产：首先查明债务人是否有遗产可供清偿债务，这是追讨债务的基础。
- 收集证据并协商：收集如借条、转账记录等证据，证明债务关系存在，并与继承人协商还款事宜，尝试通过和解方式解决纠纷。
- 提起诉讼：若协商不成，债权人可以向人民法院提起诉讼，要求继承人在继承遗产范围内承担还款责任，通过法律途径维护自身合法权益。
总结：老赖死亡后，其债务是否由父母承担需根据具体情况判断，主要考虑父母是否继承遗产及债务性质。债权人应依据法律规定采取相应措施维护自身权益。如果您有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询，我会结合您的具体情况给出更全面的解答。