政府部门欠工程款申请仲裁确实存在时效限制。以下是对这一问题的详细分析：
一、时效的基本规定
根据《中华人民共和国仲裁法》及相关法律规定，申请仲裁的时效期间通常为三年。这一规定同样适用于政府部门欠工程款的情况。也就是说，如果政府部门拖欠工程款，承包方或相关权利人应在知道或应当知道权利被侵害之日起三年内申请仲裁，否则可能会丧失胜诉权。
二、时效的起算点
时效的起算点通常是从权利人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。在政府部门欠工程款的情境中，这通常指的是工程款支付期限届满之日或政府部门明确表示拒绝支付之日。如果双方对支付期限有约定，则从约定支付期限届满之日起算；如果没有约定，则可能需要根据相关法律规定或交易习惯来确定支付期限，并从该期限届满之日起算。
三、时效的中断与中止
时效中断：在仲裁时效期间内，如果权利人向政府部门提出履行请求、政府部门同意履行义务或者权利人提起诉讼或申请仲裁等，都会导致仲裁时效的中断。中断后，仲裁时效期间重新计算。
时效中止：在仲裁时效期间的最后六个月内，如果因不可抗力或者其他障碍不能行使请求权的，仲裁时效中止。从中止时效的原因消除之日起，仲裁时效期间继续计算。
四、特殊情况下的时效处理
如果政府部门拖欠工程款的行为持续存在，且权利人一直在主张权利（如通过发函、协商等方式），那么时效可能会因为权利人的持续主张而得到延长。但这种情况下的时效延长需要具体证据支持，且并非无限期延长。
五、法律建议
及时主张权利：一旦发现政府部门拖欠工程款，应尽快与政府部门沟通协商，并保留好相关证据（如合同、发票、付款记录等）。
注意时效限制：在协商无果的情况下，应及时在三年内申请仲裁或提起诉讼，以避免丧失胜诉权。
寻求专业帮助：由于仲裁和诉讼程序相对复杂，且涉及法律专业知识和技巧，因此建议寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到有效维护。
总结来说，政府部门欠工程款申请仲裁存在时效限制，通常为三年。权利人应在知道或应当知道权利被侵害之日起三年内申请仲裁，并注意时效的起算点、中断与中止等特殊情况。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。