关于“公正遗嘱后突然死亡会通知家人吗”这一问题，结论前置如下：
公证遗嘱本身不直接涉及死亡通知义务：公证遗嘱是遗嘱人通过公证机构对其遗嘱进行公证，以确保遗嘱的真实性和合法性。然而，公证遗嘱的办理过程并不包含在遗嘱人死亡后自动通知家人的环节。公证机构的主要职责是验证遗嘱的真实性和合法性，并在遗嘱人死亡后，根据遗嘱人的继承人或其他相关人员的申请，提供遗嘱公证书或相关证明文件。
死亡通知通常由医疗机构或相关部门负责：在遗嘱人突然死亡的情况下，死亡通知通常由发现死亡的医疗机构、警方或其他相关部门负责。这些机构会根据法律规定和程序，及时通知遗嘱人的家属或紧急联系人。因此，家人是否会被及时通知，主要取决于这些机构的工作效率和遗嘱人是否留下了有效的联系方式。
从法律角度进一步分析：
公证遗嘱的效力：公证遗嘱具有较高的法律效力，因为它经过了公证机构的严格审查和验证。在遗嘱人死亡后，如果遗嘱内容合法且有效，那么遗嘱中指定的继承人或受遗赠人将有权按照遗嘱内容继承遗产。
死亡通知的法律义务：虽然公证遗嘱本身不涉及死亡通知义务，但相关法律法规对死亡通知有明确规定。例如，《中华人民共和国民法典》中关于宣告死亡和失踪的规定，以及医疗机构在发现患者死亡后的通知义务等。这些规定确保了遗嘱人死亡后，其家属能够及时得知并处理相关事宜。
建议与注意事项：
遗嘱人应留下有效联系方式：为了确保在遗嘱人死亡后，家人能够及时被通知到，遗嘱人应在遗嘱中或相关文件中留下有效的联系方式，如家庭住址、电话号码、电子邮箱等。
家人应关注遗嘱人的健康状况：家人应定期与遗嘱人沟通，了解其健康状况和生活情况。在遗嘱人年事已高或患有严重疾病的情况下，家人更应加强关注，以便在遗嘱人突然死亡时能够及时处理相关事宜。
及时咨询专业律师：如果家人对遗嘱的效力、继承程序或死亡通知等方面存在疑问或担忧，建议及时咨询专业律师。律师可以根据具体情况提供法律建议和指导，帮助家人维护自身合法权益。
总结：公证遗嘱后突然死亡，家人是否会被通知主要取决于医疗机构或相关部门的工作效率和遗嘱人是否留下了有效的联系方式。公证遗嘱本身不直接涉及死亡通知义务，但相关法律法规对死亡通知有明确规定。为了确保家人的权益得到保障，遗嘱人应留下有效联系方式，家人也应关注遗嘱人的健康状况，并在必要时及时咨询专业律师。