结论：打了警察一巴掌被拘留15天是否会有案底，主要取决于该拘留是行政拘留还是刑事拘留，以及后续是否经过法院审判确认有罪。

详细分析：

1. 行政拘留的情况：

   • 性质：如果这一巴掌被认定为违反治安管理行为，且情节较轻，公安机关可能会对其进行行政拘留。行政拘留是公安机关对违反治安管理行为人的一种行政处罚措施，不属于刑事处罚。
   • 记录保存：行政拘留的记录会保存在公安机关的内部系统中，但它不是正式的犯罪记录。
   • 影响范围：行政拘留通常不会对一般的就业、升学等产生实质性影响。但在某些特定行业或岗位，如公务员招录、参军入伍、某些安保职位等，可能会要求进行无违法犯罪记录的审查，此时行政拘留记录可能会被查到，但一般不影响录用，除非岗位有特别要求。

2. 刑事拘留及后续审判的情况：

   • 性质：如果这一巴掌被认定为涉嫌犯罪，如妨害公务罪，公安机关可能会对其进行刑事拘留。刑事拘留是刑事诉讼过程中的一种强制措施，针对的是涉嫌犯罪的行为人。
   • 后续程序：如果经过调查取证，检察院提起公诉，且法院审判确认有罪，那么就会留下犯罪记录，即案底。
   • 影响范围：犯罪记录会伴随当事人终身，对其自身及子女的职业发展等可能产生一定限制。例如，子女报考军事院校、警校，从事一些特殊公务员岗位工作等可能受到影响。

特殊情况说明：

• 如果只是被刑事拘留，但未经法院审判确认有罪，或者法院审判后确认无罪，那么不会留下犯罪记录。
• 行政拘留与刑事拘留的区分，以及后续是否经过法院审判，是判断是否会留下案底的关键。

建议：

• 在日常生活中，应遵守法律法规，尊重执法人员，避免任何形式的暴力行为。
• 如果已经面临此类情况，建议及时咨询专业律师，了解自己的法律权益和可能的法律后果，以便做出正确的应对。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律意见。