有限责任公司股东死亡后，其合法继承人并不当然成为股东，这主要取决于公司章程的规定以及《中华人民共和国公司法》和《中华人民共和国民法典》的相关规定。以下是对此问题的详细分析：
公司章程有明确规定的情况：
- 允许继承：若公司章程明确表示股东死亡后，其合法继承人可以直接继承股东资格，那么继承人在完成相关手续（如股权变更登记）后，即可成为公司股东。
- 限制继承：若公司章程对继承人资格有限制，例如需经过其他股东一定比例同意，或只能继承股权的财产权益而不能继承股东资格，则继承人需满足这些条件才能成为股东。
- 禁止继承：若公司章程明确禁止股权继承，则继承人无法直接成为股东，但可通过股权转让程序获得股权。
公司章程无特别规定的情况：
- 在公司章程没有关于股东资格继承的特别规定时，根据《公司法》第七十五条和《民法典》的相关规定，合法继承人一般可以继承股东资格，成为公司的新股东。这是因为股权作为一种财产权益，包含股东基于出资而享有的资产收益等权利，因此可以被合法继承人继承。
继承股东资格后的相关手续：
- 一旦继承人继承了股东资格，需按照公司章程和相关法律法规的规定办理股东变更手续，包括但不限于更新公司章程和股东名册、确保变更得到官方机构的认可（如工商登记部门的变更登记）等。
- 继承人还需了解并承担作为股东的权利和义务，如经营参与权、利润分配权、处置股份权等。
实际操作建议：
- 为避免股东死亡后可能产生的股东资格继承争议，建议公司在制定公司章程时，对股东资格继承问题进行详细、明确的规定。
- 在处理此类问题时，应仔细审查公司章程的相关规定，并结合《公司法》和《民法典》的相关规定进行操作。
举例说明：
假设某有限责任公司的股东A死亡，其合法继承人为B。若公司章程明确规定股东死亡后其合法继承人可以继承股东资格，则B在完成相关手续后即可成为公司股东。若公司章程规定股东死亡后其股权需经过其他股东过半数同意才能由继承人继承，则B需获得其他股东过半数的同意后才能成为股东。若公司章程禁止股权继承，则B无法直接成为股东，但可以通过与A的其他股东协商转让股权的方式获得股权。
法律依据：
- 《中华人民共和国公司法》第七十五条：自然人股东死亡后，其合法继承人可以继承股东资格；但是，公司章程另有规定的除外。
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条：遗产按照下列顺序继承：（一）第一顺序：配偶、子女、父母；（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
综上所述，有限责任公司股东死亡后其合法继承人能否成为股东，需综合考虑公司章程的规定以及《公司法》和《民法典》的相关规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。