结论：纠纷私下达成和解且钱已经付清后，一般情况下是不可以再起诉的，但也存在一些特殊情况允许起诉。以下为你详细分析：
一般情况下不可再起诉
从法律原则和一般实践来看，纠纷双方私下达成和解并且钱已经付清，意味着双方已经就纠纷的解决达成了一致意见，并且已经实际履行了和解协议中的义务。此时，纠纷在法律意义上已经得到了解决，双方之间的权利义务关系已经按照和解协议的内容重新确定并履行完毕。
例如，甲和乙因为借款纠纷发生矛盾，后来双方私下达成和解，约定乙在某日前归还甲一定金额的借款，双方不再就此事产生其他纠纷。乙按照约定在规定日期前将钱还给了甲。在这种情况下，甲就不能再就这笔借款纠纷向法院起诉乙，因为双方已经通过和解协议解决了问题，并且已经实际履行。
特殊情况允许起诉
- 和解协议存在无效情形
- 如果和解协议存在《民法典》规定的无效情形，比如一方以欺诈、胁迫的手段订立和解协议，损害国家利益；恶意串通，损害国家、集体或者第三人利益；以合法形式掩盖非法目的；损害社会公共利益；违反法律、行政法规的强制性规定等，那么该和解协议自始无效。
- 例如，甲威胁乙如果不按照甲的要求签订和解协议，就会对乙及其家人造成伤害，乙出于恐惧签订了和解协议。这种情况下，乙可以在知道或者应当知道撤销事由之日起一定期限内（一般为一年），向法院起诉请求确认和解协议无效，并就原纠纷重新主张权利。
- 和解协议存在可撤销情形
- 若和解协议存在重大误解、显失公平等可撤销情形，受损害方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 比如，甲和乙签订和解协议时，甲对纠纷的关键事实存在重大误解，导致签订的和解协议对甲明显不公平。甲可以在知道或者应当知道撤销事由之日起一定期限内（一般为九十日）向法院起诉请求撤销和解协议，撤销后，原纠纷的状态恢复，甲可以就原纠纷再次起诉。
- 一方不履行和解协议中的其他义务
- 如果和解协议中除了金钱给付义务外，还有其他义务，而一方未履行这些义务，另一方可以就未履行的部分向法院起诉。
- 例如，甲和乙签订和解协议，约定乙除了归还借款外，还需要向甲赔礼道歉。乙归还了借款，但拒绝赔礼道歉。此时，甲可以就乙未履行赔礼道歉这一义务向法院起诉，要求乙履行。
建议：如果你认为自己遇到的情况符合上述特殊情形，想要通过法律途径解决，建议收集好相关证据，如和解协议、沟通记录、证明和解协议存在无效或可撤销情形的证据等，以便在诉讼中更好地维护自己的权益。如果你还有其他关于合同纠纷方面的疑问，可以直接向我咨询。