结论：医生让患者在关节痛住院做保守治疗的相关文件上签字按手印，这一行为本身通常是合法的，但具体是否合法还需结合文件内容来判断；关于是否会泄露个人隐私，这主要取决于医院对个人信息保护的管理措施，正规医疗机构一般有严格的保密制度，但也不能完全排除泄露风险。
详细分析：
签字按手印的合法性：
- 合法情形：在医疗过程中，医生可能会要求患者或其家属在一些重要的医疗文件上签字按手印，如手术同意书、治疗知情同意书等。这些文件通常是为了确保患者或其家属了解治疗的风险、方案及可能的结果，并同意接受治疗。这种签字按手印的行为是合法的，也是医疗常规操作的一部分。
- 非法情形：如果医生要求患者签字按手印的文件内容不合法，如包含不公平、不合理的条款，或者医生以欺诈、胁迫等手段迫使患者签字，那么这种行为就是非法的。但根据您描述的情况，关节痛住院做保守治疗，医生让签字按手印，更可能是为了确认患者了解并同意治疗方案，因此合法性较高。
个人隐私泄露的风险：
- 正规医疗机构的管理：正规医疗机构通常有严格的个人信息保护制度，包括患者的病历、诊断结果、治疗方案等敏感信息。这些信息在未经患者同意的情况下，是不会被泄露给第三方的。
- 泄露风险的存在：尽管正规医疗机构有保密制度，但也不能完全排除个人隐私泄露的风险。例如，医院内部人员可能因疏忽或故意泄露患者信息，或者医院的信息系统可能遭受黑客攻击导致信息泄露。然而，这些情况相对较少见，且医院通常会采取一系列措施来降低这种风险。
法律建议：
- 对于签字按手印：在签字前，患者应仔细阅读文件内容，确保了解并同意其中的条款。如果有任何疑问或不解，应及时向医生或医院工作人员咨询。如果认为文件内容不合法或不合理，可以拒绝签字，并寻求法律帮助。
- 对于个人隐私保护：患者可以选择正规、有信誉的医疗机构进行治疗，以降低个人隐私泄露的风险。同时，患者也可以关注医院的信息保护政策，了解医院如何保护患者的个人信息。如果发现个人隐私被泄露，应及时向医院或相关部门投诉，并寻求法律帮助。
后续行动建议：
- 如果您对医生要求签字按手印的文件内容有疑问或不解，建议直接向医生或医院工作人员咨询，以确保自己的权益得到保障。
- 如果您担心个人隐私泄露问题，可以与医院沟通，了解医院的信息保护措施，并在治疗过程中保持警惕，注意保护自己的个人信息。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会尽我所能为您提供专业的法律意见。