结论：私人诊所行贿民办学校工作人员几千元以争取学生就医资格的行为，确实属于违规行为，且诊所可能会因此受到相应的处分。

分析如下：

1. 行贿行为的违法性：

   • 根据我国《刑法》的相关规定，行贿罪是指为谋取不正当利益，给予国家工作人员以财物的行为。虽然此处涉及的是民办学校工作人员，但若该工作人员在特定情境下（如代表学校行使管理职责时）被视为“从事公务的人员”，则行贿行为同样可能触犯刑法中的行贿罪或相关条款（如非国家工作人员受贿罪的共犯，具体取决于工作人员身份及行贿目的与手段）。不过，即便不构成刑事犯罪，行贿行为也违反了《反不正当竞争法》等法律法规中关于禁止商业贿赂的规定。
   • 在本案例中，私人诊所通过行贿手段争取学生就医资格，显然是为了谋取不正当利益，即获得更多的患者资源，这种行为破坏了公平竞争的市场环境，也损害了其他合法经营诊所的利益。

2. 诊所可能受到的处分：

   • 行政处罚：根据《反不正当竞争法》等相关法律法规，市场监管部门有权对实施商业贿赂行为的经营者进行行政处罚，包括罚款、没收违法所得、吊销营业执照等。在本案例中，私人诊所可能因行贿行为而面临上述行政处罚。
   • 行业惩戒：除了行政处罚外，诊所还可能受到行业协会或相关监管机构的惩戒，如警告、通报批评、取消会员资格等。这些惩戒措施虽然不直接涉及法律责任，但会对诊所的声誉和业务发展产生负面影响。
   • 民事赔偿：如果行贿行为导致其他合法经营诊所遭受损失，受损方还有权要求行贿诊所承担民事赔偿责任。

3. 其他法律后果：

   • 刑事责任风险：如前所述，如果行贿行为构成犯罪，诊所的相关责任人员（如直接负责的主管人员和其他直接责任人员）可能面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役、罚金等。
   • 信誉损失：行贿行为一旦曝光，将对诊所的信誉造成严重损害，导致患者流失、合作伙伴终止合作等后果。

建议：

• 诊所应立即停止任何形式的行贿行为，并主动向相关部门坦白交待，争取从轻处理。
• 诊所应加强内部管理，建立健全合规制度，确保经营活动合法合规。
• 诊所应积极配合相关部门的调查和处理工作，如实提供证据材料，接受相应的法律制裁和行业惩戒。

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