在刑事拘留期间，关于犯罪嫌疑人或被告人能否通过公安机关直接办理取保候审的问题，这确实是一个涉及法律程序与条件判断的重要问题。以下是我为您提供的详细解答：

一、公安机关在刑事拘留后有权办理取保候审

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在刑事拘留后，对于符合特定条件的犯罪嫌疑人，确实有权办理取保候审。这一制度的设计，旨在平衡打击犯罪与保障人权之间的关系，确保在不妨碍案件侦查和审判的前提下，尽可能保障犯罪嫌疑人的合法权益。

二、取保候审的适用条件

取保候审并非无条件适用，而是需要满足一定的法律条件。具体来说，主要包括以下几种情形：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的：这类犯罪通常情节较轻，采取取保候审措施不致发生社会危险性。

2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的：这需要综合考虑犯罪嫌疑人的犯罪性质、情节、悔罪表现及平时行为等因素。例如，如果犯罪嫌疑人平时表现良好，有固定住所和收入来源，且案件事实清楚，证据充分，那么采取取保候审措施可能不会对社会造成危害。

3. 患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的：这是出于人道主义考虑的特殊规定，旨在保护这些特殊人群的合法权益。

4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续侦查或审理的：为避免超期羁押，保障犯罪嫌疑人的合法权益，此时可申请取保候审。

三、取保候审的申请与办理程序

1. 申请主体：犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人均有权向公安机关提出取保候审的申请。

2. 提交申请：申请人需以书面形式向公安机关提出申请，并详细阐述申请取保候审的理由和拟采取的保证方式（如保证人担保或交纳保证金）。

3. 审查决定：公安机关收到申请后，会仔细审查案件的具体情况和申请人的资格。若认为符合取保候审的条件，将作出取保候审的决定；若不符合，则会书面通知申请人并说明理由。

4. 执行与监管：一旦决定取保候审，公安机关会责令犯罪嫌疑人提供保证人或交纳保证金，并负责执行取保候审措施。犯罪嫌疑人在取保候审期间必须遵守相关规定，如不得离开所居住的市、县，住址、工作单位和联系方式发生变化时需及时报告执行机关等。

四、注意事项

• 取保候审并非无罪释放，而是一种强制措施的变更。犯罪嫌疑人在取保候审期间仍需配合案件的侦查和审判工作。
• 如果违反取保候审的规定，如未经批准离开所居住的市、县或干扰案件侦查和审判等，可能导致取保候审被撤销，并可能被重新羁押。

综上所述，刑事拘留后公安机关确实有权根据具体情况和法律规定对符合条件的犯罪嫌疑人办理取保候审。但能否成功申请取保候审取决于多种因素的综合考量。因此，在面临此类问题时，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律意见和帮助。