结论：交警队在碰着狗的事故后半月处理，从法律程序上来说并不一定不合法，但具体是否合法需结合事故的具体情况、交警队的处理流程以及相关法律法规来综合判断。
分析说明：
事故处理的一般原则：
- 交通事故发生后，交警部门有责任及时到达现场，进行勘查、调查取证，并根据事故情况作出相应的处理决定。这通常包括责任认定、调解、处罚等环节。
- 法律并未明确规定交警队必须在事故发生后的具体多少时间内完成处理，但要求交警队应当及时、公正、高效地处理交通事故。
半月后处理的可能情况：
- 事故复杂：如果事故涉及多方、伤情严重或存在争议，交警队可能需要更多时间进行调查取证、分析事故原因，并作出准确的责任认定。在这种情况下，半月后处理可能是合理的。
- 程序要求：某些情况下，交警队可能需要等待相关鉴定结果（如车辆鉴定、伤情鉴定等）出来后才能进行处理。这些鉴定可能需要一定时间，因此可能导致处理延迟。
- 工作安排：交警队的工作安排、人员配置等也可能影响处理时间。如果交警队近期工作繁忙或人员不足，可能会导致处理时间延长。
合法性判断：
- 交警队半月后处理是否合法，关键在于其是否按照法定程序进行了处理，以及是否存在无故拖延的情况。
- 如果交警队能够提供合理的解释和证据，证明其处理时间延长是出于必要和合理的考虑，那么这种处理方式通常是合法的。
- 如果交警队无故拖延处理时间，或者未按照法定程序进行处理，那么这种处理方式可能是不合法的。
法律建议：
- 如果您对交警队的处理时间有疑问或不满，可以先与交警队沟通，了解其处理进度和原因。
- 如果沟通无果或您认为交警队的处理存在违法行为，您可以向其上级部门或相关监督机构投诉，或者寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
后续行动指导：
- 在与交警队沟通时，建议您保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和疑问。
- 如果需要投诉或寻求法律援助，建议您准备好相关证据材料，如事故现场照片、交警队处理记录等，以便更好地维护自己的权益。
总之，交警队半月后处理碰着狗的事故并不一定不合法，但具体是否合法需结合事故情况、交警队处理流程以及相关法律法规来综合判断。如果您对此有疑问或不满，建议及时与交警队沟通或寻求法律援助。