结论：信用卡逾期后，即使开始还钱，仍存在被银行或金融机构起诉的可能性，但这一风险并非绝对，取决于多种因素，包括逾期金额、逾期时间、还款态度及银行政策等。以下是对这一问题的详细分析：
一、可能被起诉的情况
还款金额未达标：
- 若您偿还的金额低于银行设定的最低还款额，银行可能认为您未按约定履行还款义务，从而采取法律手段。例如，账单最低还款额为500元，但您只还了200元，就面临被起诉的风险。
长期未清偿欠款：
- 即便有还款行为，但若欠款长期处于未还清状态，且逾期时间较长（如超过3个月），经银行多次催收无果，银行也可能选择起诉。持续的小额还款导致本金和利息累积，欠款越还越多时，银行为收回全部欠款可能会提起诉讼。
恶意逾期嫌疑：
- 如果银行有证据证明您存在恶意透支，如在明知无还款能力的情况下大量透支且故意逃避催收，即使期间有少量还款，也可能被起诉。例如，失业后仍继续透支消费，逾期后更换联系方式躲避催收，仅偶尔小额还款，就可能被视为恶意逾期。
二、一般不会被起诉的情况
积极沟通与协商还款：
- 您在逾期后主动与银行联系，说明困难情况，并达成个性化分期还款协议或其他还款方案，且按时足额还款，通常能避免被起诉。例如，因突发疾病导致逾期，与银行协商后分24期还款，并按时履行，则银行不会起诉。
还款金额接近或达到总额：
- 若您在逾期后积极筹款，还款金额接近或已达到欠款总额（含本金、利息和违约金），银行一般不会再起诉。例如，逾期欠款1万元，已陆续还款9900元，并与银行沟通好近期偿还剩余款项，这种情况下被起诉的概率极低。
三、法律后果与应对建议
民事起诉后果：
- 若银行提起民事诉讼且法院判决您败诉，您需承担还款责任，包括本金、利息、滞纳金等费用。拒不履行判决的，银行可申请强制执行，法院有权采取查询、冻结、划拨银行存款以及查封、扣押、拍卖财产等措施。
刑事起诉风险：
- 在特定情况下，如您以非法占有为目的，超过规定限额或期限透支，并经两次有效催收后超过三个月仍不归还，且逾期金额达到5万元以上，可能构成信用卡诈骗罪，面临刑事起诉。一旦罪名成立，您将承担刑事责任，可能判处有期徒刑并处罚金。
应对建议：
- 及时沟通：逾期后立即与银行联系，说明还款意愿和实际情况。
- 积极协商：努力与银行协商制定合理的还款计划，争取延期还款、分期还款等优惠条件。
- 避免逃避：保持联系方式畅通，积极配合银行的催收工作，避免被视为逃避债务。
- 法律咨询：如面临严重逾期问题，可直接向我咨询，了解法律权益及应对策略。
总结：信用卡逾期后部分还款虽不能确保避免被起诉，但积极的还款态度、及时的沟通与协商以及遵守法律法规是降低起诉风险的有效途径。无论逾期金额大小，您都应积极与银行或金融机构沟通，明确表达还款意愿和计划，并尽力按约定还款。同时，了解自身权利和义务，以规避不必要的法律风险。