在民事诉讼中，当庭发现新的证据是可以举证的，但需遵循一定的规则和程序。以下是对这一问题的详细解答：
一、法律依据与原则
根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，当事人在法庭审理过程中有权提供新的证据，这是当事人举证权利的重要体现。然而，举证并非无限制，而是需要遵循诚实信用原则、举证时限规定以及法庭的指挥和安排。
二、举证的具体情形与要求
举证时限内的举证：
- 如果新的证据是在法庭指定的举证期限内发现的，当事人应当及时向法庭提交，并说明证据的来源和证明目的。
- 这种情况下，法庭通常会接受并安排质证，以确保诉讼的公正和效率。
举证时限外的举证：
- 如果新的证据是在举证期限届满后才发现的，当事人需要向法庭说明逾期举证的原因。
- 法庭会根据逾期举证的原因、证据的重要性以及是否可能导致诉讼不公等因素，决定是否接受该证据。
- 如果法庭接受逾期举证的证据，可能会对对方当事人的诉讼权利造成一定影响，因此法庭可能会给予对方当事人相应的补救措施，如延长答辩期、重新指定举证期限等。
特殊情形下的举证：
- 在某些特殊情况下，如证据涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私等，当事人需要在举证时向法庭说明，并按照法庭的要求进行保密处理。
- 如果证据是通过非法手段获取的，法庭将不予接受，并可能依法对相关当事人进行处罚。
三、举证的法律后果与注意事项
法律后果：
- 如果当事人按时、合法地提交了新的证据，且该证据被法庭采纳，那么该证据将成为认定案件事实的重要依据。
- 如果当事人逾期举证且无法说明合理原因，或者提交的证据被法庭认定为非法或无效，那么该证据将不被采纳，并可能影响当事人的诉讼权利和诉讼结果。
注意事项：
- 当事人在发现新的证据后，应及时与法庭沟通，了解举证的具体要求和程序。
- 当事人应确保提交的证据真实、合法、有效，并能够证明自己的主张或反驳对方的主张。
- 当事人在举证过程中应遵守法庭的指挥和安排，不得扰乱法庭秩序或妨碍诉讼的进行。
四、实际案例与启示
在实际诉讼中，不乏因当庭发现新证据而成功举证并影响诉讼结果的案例。例如，在某些合同纠纷案件中，一方当事人在庭审过程中突然发现了对方当事人之前未披露的关键证据，如合同原件、付款凭证等。该当事人及时向法庭提交了这些证据，并经过质证后被法庭采纳，最终成功维护了自己的合法权益。
因此，如果你在民事诉讼中当庭发现了新的证据，不要犹豫，及时向法庭提交并说明情况。但同时也要注意遵守举证时限和法庭的指挥安排，以确保你的举证行为合法有效。如果你对举证的具体程序或要求有疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律解答和帮助。