结论：银行追债本身是合法的，但必须在法律框架内进行，且需遵循一定的程序和规则。结合新闻背景，银行在追债过程中需确保有充分的证据支持其诉求，并尊重继承人放弃继承的权利，同时可依法主张对抵押物的优先受偿权。
一、银行追债的合法性基础
银行作为债权人，在债务人未能按时履行还款义务时，有权通过合法途径追讨债务。这是基于《民法典》中关于债权债务关系的基本规定，银行作为合法的债权人，其追债行为受到法律保护。
二、银行追债的合法程序
协商与调解：银行在追债前，通常会先尝试与债务人或其继承人进行协商，寻求和解或制定还款计划。这是最为温和且高效的解决方式。
法律途径：若协商无果，银行可通过法律途径追债，包括但不限于申请支付令、提起诉讼等。在提起诉讼时，银行需准备充分的证据，如借款合同、转账记录、逾期通知等，以证明债务的存在及债务人的违约行为。
三、新闻背景中的法律分析
在新闻背景中，女子去世后房贷逾期，银行将其儿子起诉至法院，要求其在继承遗产范围内偿还贷款本息。然而，法院审理认为，由于林某已书面放弃继承，且银行没有证据证实林某继承了遗产，因此银行的主张未获支持。这一案例体现了法律对继承人放弃继承权利的尊重，即继承人放弃继承后，无需承担被继承人的债务。
同时，法院也指出，林某作为遗产管理人，必须履行遗产管理人职责，包括协助银行处置抵押房产。这是因为，即便林某放弃了继承权，但他作为遗产的实际掌控者（如握有房产证等），法律仍将其认定为遗产管理人，要求其配合处理遗产相关事宜。
四、银行追债的注意事项
证据充分：银行在追债过程中，必须确保有充分的证据支持其诉求，包括借款合同、转账记录、逾期通知等。
尊重法律程序：银行应遵循法律程序进行追债，避免使用不当手段或侵犯债务人及其继承人的合法权益。
关注抵押物：在债务人提供抵押物的情况下，银行可依法主张对抵押物的优先受偿权。如新闻背景中的房产，银行对其拍卖、变卖的价款享有优先受偿权。
五、对公众的启示
了解法律权利：债务人及其继承人应了解自己的法律权利，包括放弃继承的权利以及作为遗产管理人的职责。
及时沟通：在面临债务问题时，债务人及其继承人应及时与银行沟通，寻求和解或制定还款计划，避免法律纠纷的发生。
保留证据：无论是债务人还是债权人，都应保留好相关证据，以备不时之需。
综上所述，银行追债是合法的，但必须在法律框架内进行，并遵循一定的程序和规则。在追债过程中，银行应确保有充分的证据支持其诉求，并尊重债务人及其继承人的合法权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。