在遗产继承过程中，如果需要通过法律途径来申请增加诉求或解决纠纷，一般需要遵循以下详细程序：
一、明确管辖法院
首先，需要确定哪个法院具有管辖权。根据《民事诉讼法》的规定，遗产继承诉讼由被继承人死亡时住所地或者主要遗产所在地的人民法院专属管辖。住所地通常指的是户籍所在地，但如果经常居住地（即连续居住一年以上的地方）与户籍所在地不一致，那么以经常居住地为准。主要遗产所在地则根据遗产的性质来确定，比如房产等不动产所在地即为主要遗产所在地。
二、准备起诉材料与增加诉求
收集证据：
- 证明当事人（包括原告、被告及可能涉及的第三人）诉讼主体资格的证据，如身份证、户口簿、公安机关出具的亲属关系证明等。
- 被继承人的死亡证明，如医院出具的死亡证明或公安机关的销户证明。
- 遗产范围和状况的证明，包括房产证、银行存款凭证、车辆行驶证、遗嘱（如有）等，以明确遗产的种类、数量和价值。
- 继承关系的证明，如遗嘱（如果涉及遗嘱继承）、法定继承关系证明等，以确定各继承人的继承份额和方式。
- 若需增加诉求：在收集证据的同时，需要明确新增诉求的具体内容，并准备相应的证据来支持这一诉求。例如，如果原本只请求分割房产，现在想增加对银行存款的分割请求，那么就需要提供银行存款的相关证据。
撰写起诉状：
- 起诉状应详细记明原告、被告的基本信息。
- 明确列出原有的诉讼请求以及现在想要增加的诉讼请求，并详细阐述增加诉求的事实与理由。
- 提供所有证据及其来源，确保内容准确、完整。
三、立案与审理前准备
提交起诉状与证据：
- 将准备好的起诉状和证据材料一并提交至有管辖权的法院立案窗口。
- 法院将对材料进行审查，符合立案条件的将在7日内予以立案，并通知缴纳诉讼费；不符合条件的将裁定不予受理，并说明理由。
审理前准备：
- 法院将在立案后5日内送达起诉状副本给被告，被告需在收到之日起15日内提出答辩状。
- 根据案件情况，法院可能组织证据交换，让双方了解对方证据，为庭审做准备。在此过程中，你可以进一步阐述增加诉求的理由和证据。
- 确定开庭时间，并提前3日通知当事人和其他诉讼参与人。
四、开庭审理与判决
庭审准备：
- 核对当事人身份，宣布法庭纪律，告知诉讼权利义务，询问是否回避。
法庭调查：
- 按照既定顺序进行当事人陈述、证人作证、出示证据等环节。在此过程中，你将有机会详细阐述增加诉求的事实和证据。
- 确保事实清晰、证据确凿，以便法庭能够全面了解案件情况。
法庭辩论：
- 双方围绕争议焦点进行辩论，包括原有诉求和增加诉求的合理性、合法性等。
- 法官将听取各方意见，并根据庭审情况和证据作出判断。
调解与判决：
- 法庭辩论终结后，法院将尝试调解。若调解成功，制作调解书，其中应包含对增加诉求的处理结果。
- 若调解不成，则根据审理查明的事实和相关法律规定作出判决，明确遗产分配方式、份额等，包括对增加诉求的裁决。
五、上诉与执行
上诉：
- 若对一审判决不服，可在判决书送达之日起15日内向上一级法院提起上诉。
- 上诉需提交上诉状，并明确列出对哪些部分不服以及上诉的理由和请求。
执行：
- 判决生效后，当事人应履行判决确定的义务。
- 若一方不履行判决确定的义务（包括对增加诉求的处理结果），另一方可在规定期限内向法院申请强制执行，法院将采取相应措施实现申请人的合法权益。
在整个过程中，建议咨询专业律师以获取更详细的法律指导和帮助，确保自身权益得到有效维护。遗产继承诉讼是一个复杂而严谨的法律过程，涉及多个环节和大量证据的准备，因此务必谨慎对待每一个步骤。