您可以先自行垫付医疗费用，后续通过协商、调解或诉讼等途径要求对方承担赔偿责任。具体来说，您可以按照以下步骤处理：

1. 保留证据：首先，务必保留好所有与事故相关的证据，包括但不限于事故现场的照片、视频、交警出具的事故责任认定书、医院的诊断证明、医疗费用发票等。这些证据将在后续协商、调解或诉讼中起到关键作用。

2. 尝试协商：在证据充分的情况下，您可以尝试与对方进行协商，要求其承担医疗费用。协商时，可以明确告知对方您的损失情况，包括医疗费用、误工费、护理费等，并出示相关证据。如果对方同意承担费用，最好签订书面协议，以避免后续纠纷。

3. 申请调解：如果协商无果，您可以向当地的交通事故调解委员会或人民调解委员会申请调解。调解委员会将组织双方进行调解，并尝试达成和解协议。调解协议具有法律效力，如果对方不履行，您可以向法院申请强制执行。

4. 提起诉讼：如果调解也无法解决问题，您可以向法院提起诉讼，要求对方承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提交相关证据，证明对方的过错以及您的损失情况。法院将根据事实和法律规定，作出判决，要求对方承担相应的赔偿责任。

额外提醒：

• 在处理此类纠纷时，务必保持冷静和理性，避免与对方发生冲突或争执。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到保障，可以随时向我咨询，我将为您提供专业的法律建议和帮助。
• 在整个过程中，务必注意保护自己的个人信息和隐私，避免泄露给不必要的人或机构。