结论：在抚养费纠纷案件中，前夫起诉要求支付抚养费时，其聘请的律师费一般由各自承担，但特定情况下可能由败诉方承担部分或全部费用。以下是对此问题的详细分析：
一、一般原则：各自承担律师费
在大多数法律体系中，包括中国，律师费通常被视为当事人为了维护自身权益而自愿支出的费用，因此，除非法律另有规定或双方另有约定，否则律师费一般由各自承担。这意味着，在前夫起诉要求支付抚养费的案件中，前夫聘请的律师费原则上应由他自己承担，而您作为被告，如果聘请了律师，其费用也应由您自己承担。
二、特定情况：败诉方承担律师费
尽管一般原则是各自承担律师费，但在某些特定情况下，败诉方可能需要承担对方的律师费。这些情况通常包括：
法律明确规定：如果法律明确规定在特定类型的案件中，败诉方需要承担对方的律师费，那么法院可能会根据这一规定作出判决。然而，在抚养费纠纷案件中，法律通常不会明确规定败诉方需要承担对方的律师费。
合同约定：如果双方在合同中明确约定了律师费的承担方式，比如约定在发生纠纷时，败诉方需要承担对方的律师费，那么法院可能会根据这一约定作出判决。但在抚养费纠纷中，这种合同约定的情况较为罕见。
法院酌情判决：在某些特殊情况下，法院可能会根据案件的具体情况，酌情判决败诉方承担对方的律师费。这通常发生在案件涉及公共利益、对方行为恶劣或案件结果对败诉方影响重大等情况下。然而，这种情况在抚养费纠纷案件中并不常见。
三、实际操作建议
了解法律规定：在面对抚养费纠纷案件时，您应首先了解相关的法律规定，特别是关于律师费承担方面的规定。这有助于您更好地预测案件的可能结果，并制定相应的诉讼策略。
收集证据：如果您认为对方的行为恶劣或案件结果对您影响重大，您可以在诉讼过程中收集相关证据，以支持您要求对方承担律师费的请求。然而，需要注意的是，这种请求通常很难得到法院的支持。
咨询专业律师：在处理抚养费纠纷案件时，咨询专业律师是非常重要的。律师可以根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议，并帮助您制定合适的诉讼策略。虽然律师费需要您自己承担，但专业的法律服务往往能够为您节省大量的时间和精力，并提高案件的胜诉率。
最后，抚养费纠纷案件中的律师费承担问题是一个复杂而多变的问题。虽然一般原则是各自承担律师费，但在特定情况下，败诉方可能需要承担对方的律师费。因此，在处理这类案件时，您应充分了解法律规定，收集相关证据，并咨询专业律师的意见。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。